數學基本活動經驗的發現與認識

張麗

隨著課改的推進，作為課程總目標的“數學基本活動經驗”引起了老師更多的關注。在課堂教學中，如何發現并幫助學生積累數學活動經驗呢？筆者以蘇教版第十二冊“圓柱的體積”為例，談一些自己的認識。

一、教學案例

第一部分：聯系舊知，導入新課

1.板書：體積。

2.談話：今天這節課我們來研究體積。

3.課件出示：等底等高的長方體、正方體。

（1）提問：長方體和正方體體積相等嗎？為什么？

板書：長（正）方體的體積=底面積×高

課件再出示圓柱和有關條件。

（2）談話：這是什么？猜一猜，它的體積和長方體、正方體體積相等嗎？用什么方法驗證？

生：倒水的辦法。（課件演示驗證過程）

（3）師：猜一猜，圓柱的體積可以怎么計算？

板書：圓柱的體積=底面積×高

小結：這只是大家的猜測，還要進一步研究。

第二部分：推導圓柱體積公式

1.回顧圓面積公式的推導過程

提問：還記得圓面積的計算公式是怎么推導出來的嗎？

結合課件闡述：把圓沿半徑或直徑平均分成若干份，用不同顏色表示兩個半圓，將上半個圓沿半徑打開，下半個圓也沿半徑打開，再將兩部分咬合在一起，拼成了什么圖形？

根據學生回答，板書：S長=長×寬

明確對應關系，板書：S長=長×寬

S圓=πr·r

2.把圓柱轉化為近似長方體

（1）談話：剛才我們把圓轉化為長方形，推導出了圓面積計算公式。如果要推導圓柱的體積公式，可以把圓柱轉化成什么？（長方體）

提問：怎么轉化呢？四人小組交流。

小結：用不同顏色表示半個圓柱，通過直徑沿高把圓柱平均切成16份，把上半個圓柱打開，下半個圓柱打開，兩部分拼在一起，這是變成了什么物體？（近似的長方體）

（2）談話：如果平均切的份數增加，平均分成32份、64份，這樣一直分下去，物體會發生什么變化？（出示圖片并提示：越來越接近長方體）

（3）提問：拼成的長方體與原來的圓柱有什么聯系？四人小組交流。

生反饋，讓生上前指一指，并板書：

長（正）方體的體積=底面積×高或長×寬×高

圓柱的體積=底面積×高或πr·r·h

教師整理學生回答，明確左右兩公式的相通之處。

二、對教學設計和實踐的初步思考

首先，反思例題呈現。教學中筆者對例題呈現是：先出示長方體、正方體圖，提問兩者體積是否相等，引出“長（正）方體體積=底面積×高”；再出示圓柱圖以及余下問題。這樣設計的意圖是分步遞進出示問題，便于進行層層推進的思考與教學。如果三個圖形整體出示的話，可以讓學生整體感知三個圖形的特征，教材的隱喻是“直柱體的體積都可以用底面積×高來計算”這一事實，接著再提出如何驗證的問題。這里出現的疑問是：不同的例題呈現方式，對學生的思考是否會產生不同影響？

其次，反思“圓柱的體積和長方體、正方體的體積相等嗎？用什么辦法驗證呢？”該問題的回答。學生會怎樣回答這個問題，教師的預設是學生可能會用操作辦法——倒水法，即把三個圖形看成容器，用“等積轉換”的思路加以驗證。實際教學中學生的反饋正如預設，其他學生表示贊同。但研究教材發現，教材的編寫意圖是進行推理驗證，即猜測圓柱的體積是否也等于“底面積×高”，再通過切分圓柱來證明。倒水法驗證存在較大誤差，無法證明數學意義上的體積相等，但倒水法卻又是學生對“驗證”的及時反應。到底如何理解“圓柱的體積和長方體、正方體體積相等嗎？用什么方法驗證呢？”如何看待學生用“倒水”來驗證這一問題呢？

再次，反思公式推理論證階段學具的缺失對學生學習產生的影響。教師在學生思考的基礎上以課件為輔助展示了圓柱切分的動畫過程，學生通過觀察感知了推導過程。有教師提出，只用課件展示切割圓柱的過程會使學生喪失直觀地看到拼成長方體和原來圓柱聯系的機會。但在日常教學中，學具往往不能做到人手一份。教師該如何在課件和學具之間做出平衡與選擇？另外，不斷地平均切分圓柱的過程中蘊含著極限思想，如何能在教學中適當滲透這樣重要的數學思想？

三、啟示

1.經驗的改造

通過對“圓柱的體積”的反思，筆者認為教師必須把握生活經驗與數學經驗、直接經驗與間接經驗之間的聯系，最終形成學生自己的“數學智慧”。因此，經驗的改造十分必要。學生的經驗具有局限性，他們習慣于用熟悉的想法思考問題，而學生的“視覺具體”就是所謂“熟悉”。生活中的空間經驗往往會對抽象的公理體系的形成產生負面影響，學生有必要對這樣的經驗進行修正和改進，從而超越原有經驗，而非停留在以觀察為基礎的常識性認識上。

2.數學基本活動經驗的相對性與基礎性

荷蘭學者范希爾（Pierre van Hiele）認為學生幾何思維水平的發展是循序漸進的，水平的提升是通過教學，而不是隨年齡增長或心理成熟自然而然的，教學也不能促使學生跨越式發展。由此我們對“數學基本活動經驗”中“基本”的認識不能簡單地理解為數學活動的基礎經驗或根本經驗。對于不同年段的學生來說，基本活動經驗具有階段性和相對性。

就“圓柱的體積”而言，學生的基點是長（正）方體的體積計算和圓柱的特征，以及“非形式化演繹”的思維經驗，即學生有能力作出非正式的類推但不能作系統性證明的思維經驗。例如，通過圖形的直觀對比猜測圓柱體積的計算方法，將圓面積計算公式推導的思想方法嘗試應用于出圓柱體積公式推導的思考。這些學生積累的經驗是在經過一段時間的學習逐步發展形成的。

3.對教材的理解與運用

本課教材以問題提出、嘗試猜測、知識系統的建構作為基本脈絡，以論證“‘圓柱體積=底面積×高是否成立”為核心問題，將圓面積的推導論證過程運用到圓柱體積計算公式的推導上，體現了知識的螺旋遞進關系。我們可以感受到本課教材力圖關注學生數學活動經驗的生成、應用、積累和發展。

教師在使用教材時要考慮幫助學生產生有效的幾何直覺。在例題出示時，如果將例題三個立體圖形并置，會引發學生怎樣的直覺？教師可以嘗試在例題出示方式和提問方式上進行思考，以期更好地引發“圓柱體積=底面積×高”這樣的推測性直覺。平均切分圓柱的操作過程既包含視覺上的圖形解構過程，也能挖掘出數學思想——極限思想。因此，教師在教學中應關注視覺直觀、圖形構造和推理表達三者之間的聯系，整合學生在這三方面的經驗，以有效地掌握新知識。

參考文獻：

[1]張璐.小學生數學基本活動經驗積累的現狀調查研究[D].南京師范大學，2015.

[2]馬瑞娟.小學數學基本活動經驗教學設計研究[D].渤海大學，2014.