數學危機不危機

朱煥然

【摘要】 本文以歷史上的三次數學危機為基礎，通過解決三次數學危機為何發生在西方、三次數學危機在不同數學分支中的推動作用、三次數學危機對我們的研究和教學的啟示這三個的問題，以此證實數學危機，其實不危機，它對數學的發展有很大的影響.

【關鍵詞】 數學危機；西方；數學分支；啟示

一、三次數學危機簡介

（一）第一次數學危機

公元前580～568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派.這個學派所有發明創造都歸于學派領袖.當時人們對有理數的認識還很有限，對于無理數的概念更是一無所知.該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示.希伯索斯的發現被認為是“荒謬”和違反常識的事.它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也沖擊了當時希臘人的傳統見解.這就是第一次數學危機.最后，這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決.只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了.

（二）第二次數學危機

十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機.微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾.直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論.柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾.無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，第二次數學危機基本解決.

（三）第三次數學危機

1902年，羅素悖論的產生震撼了整個數學界，號稱天衣無縫、絕對正確的數學出現了自相矛盾.羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合.因為既要R有異于R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的.因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則，否則就是不合法的集合.數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論.德國數學家策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統，這場數學危機到此緩和下來.

二、三次數學危機為何在西方

（一）西方人更注重邏輯思維

西方有一句話叫做“富人創造世界”，從這三次數學危機，我們知道西方人善于發現問題，主張去探究“這個東西是什么”，從邏輯和本質出發思考問題，不斷地將問題呈現出來，不斷思考和挖掘，朝著困難進發，不斷地思考事物的根源，而不是將理論推倒去重新建立，在此基礎上，通過人們逐漸地去深入，或者是變換一種思考問題的方式，都能使新的問題得到解決.西方人長期是以這種邏輯思維來做事情、搞研究的，那么此時西方的數學才會出現危機.

（二）西方人更注重體系的完善

第一次數學危機是由于實數系不完整，第二次數學危機是由于極限理論不完整，第三次數學危機是由于公理化體系不完整.當西方人發現在現有的理論基礎之上，解決這些問題的理論不能夠得到落實，不能支撐起問題的解決，那么西方人會在此基礎上去完善數學理論，不斷地充實體系，使理論體系更加完善，以此來解決數學危機.因此說，西方是先有理論，由理論來指導實踐，并且對于西方來說，建立起來的理論要達成一個完整的鏈條，使得它們完成整個數學界的連貫性和體系性.反之，東方人則不在意理論的完善，他們認為只要將理論建立起來就可以了，即使一些理論是零敲碎打，只要不影響使用就可以.因此，我們可以發現歷史上的三次數學危機發生在西方不是偶然的，而是必然的.

三、三次數學危機在不同數學分支中的推動作用

（一）三次數學危機的共同之處

通過對三次數學危機的研究，我們可以發現，這些危機都是在理論有缺陷的情況下發生的，數學家們研究不下去這些問題了，所以才將理論不斷地充實下去，使得解決問題的依據更加充足.學者們都擁有永無止境的研究欲望，勇于探索的精神，才能解決一次又一次的數學危機，從而引起深遠的影響.

（二）對實數系的推動作用

從第一次數學危機中，我們可以發現，導致其發生的原因是由于當時的人們只知道有理數，有理數就是整個實數系，而當一個數不能用整數表示時，人們就發現了存在于有理數之外的數，即無理數.所以說，無理數必須建立在有理數之上，有理數又是整數的擴展，整數則是由自然擴充而來，那么才能建立嚴格的實數理論.這樣而來，無理數的出現促進了最根本的實數系的完善，并且為極限理論做下鋪墊.

（三）對分析學分支的推動作用

分析學是三大基礎數學的一大分支，其中數學分析則是以極限為工具來研究函數的學科.從第二次數學危機，我們可以看出極限的思想就蘊含在其中，無窮小量的出現引起了人們對極限的認識.極限思想是人們從有限認識無限、從近似認識精確、從已知認識未知、從量變認識質變，推動了數學哲學的形成和發展.如數理統計、圖論、模糊數學等等，都是由第二次數學危機的產生而人們在充實理論中引出的新概念，這為現代數學奠定了基礎.

（四）對理論數學之外的分支的推動作用

第三次數學危機的發生引出公理化體系，那么公理化體系的出現就將游離在數學之外的一些分支視為數學范圍.如概率論， 概率論研究的是隨機 現象，而在第三次危機

之前，我們將數學的特點定義為嚴密和精確，因此我們沒有將概率論收入為數學的范疇，但是當公理化體系出現后，承認并證實了隨機現象，這時人們才認可概率論.像應用數學中的運籌學，泛函分數等等，都是公理化體系最直接的受益者.

四、三次危機的啟示

（一）堅持與信仰

人們在面對數學危機時，并沒有因為害怕難題而逃脫，而是克服困難，及時補充理論并改正錯誤.能夠用更大的麻煩來解決麻煩，危機促進了數學的發展，每一次數學危機都是一次傳統和新銳的斗爭.先覺者不斷挑戰這舊日的權威，頑固派不斷想要扼殺新生的火焰，但星星之火早已有了燎原之勢，燒盡腐朽落后的東西，隨大江的海浪一波一波滾滾向前.所以，我們應該培養開拓創新、鉆研探究、不畏權威、追求真理的精神，在自己從事的領域上開創一片新的天地.給數學史帶來了深遠影響.

（二）理論與實踐

通過這三次數學危機，我們發現在指導實踐的過程中，理論的空缺是很致命的，因此完整理論是很重要的，要在理論和實踐相結合的同時，逐漸完善理論.比如說，我們在小學教學中，應該多讓學生去親自體驗和感知所學習的知識，踏實下來計算一下，也許會有更好地教學效果.

（三）數與形的結合

從三次危機中，我們發現了數形結合的重要性，“數”是抽象的，“形”是具體的，結合起來才能有更大的成就，這是重要的數學方法和思想.像第一次數學危機，本質就是數形結合，通過刻畫長短來形成對長度的感性認識，深刻理解概念和性質.具體到小學教學中就是在講平均數的時候，“數”代表的就是計算平均數的公式，“形”的思想就是移多補少、齊平.

五、小 結

從公元前580的第一次數學危機開始，西方人不斷思索，善于發現的品質使得他們發現了前人的不足，敢于推翻過去，同時也努力追求真相.這就意味著數學在一次次危機中不斷完善，理論更加嚴密更加有據可循.所以西方的實數、分析學、數學之外的知識體系更加完整，成為了經典的理論讓后人學習.中國早期的數學發展的很好，但是卻滿足現狀，所以才讓西方反超.同時我們也發現，只有不斷的發現問題，才能想辦法去解決問題.這也成為了我們數學學習的思路.當我們發現一個問題，然后想辦法用之前學習的數學知識去解決的時候，這時候我們便具備了數學思想，并可以再此基礎上獲得更上一層的數學理論.所以我們經過這次研究也得到了巨大的收獲.在面對問題時，逃避是不能解決問題的，要敢于思考，不要被過去所束縛，才能有新的發現.同時理論是建立在實踐的基礎上的，我們在教學中也可以去應用這一點讓孩子們動手操作，化抽象數學知識為具體的數學模型，從而在腦海中建立數學知識的概念，這樣更有助于學生的接受，是課堂教學的一個好方法.

【參考文獻】

[1] 戴峰.哲學視域下的第三次數學危機[D] .太原科技大學，2010.

[2] 呂蕊.三次數學危機對數學發展的影響[J] .數學學習與研究，2010，（12），08.

[3] 汪曉夢.極限思想的形成、發展及其哲學意義[J] .中共合肥市委黨校學報，2004，（09），15.

[4] 高星海.中西方思維方式之差異[J] .學習與探究，2014，（11），15.