數學期望及其應用

朱迪

【摘要】 數學期望是隨機變量最重要的特征數之一，它是消除隨機性的主要手段.本文通過對數學期望的概念、性質以及應用性的舉例，闡述了數學期望在隨機事件中的重要地位和很強的應用性.

【關鍵詞】 數學期望；概率；隨機事件

引 言 在17世紀中葉，以為賭徒向法國數學家帕斯卡提出一個使他苦惱長久的份賭本問題：甲、乙兩賭徒賭技不相上下，各出賭注50法郎，每局中無平局.他們約定，誰先贏三局，則得到全部的賭本100法郎.當甲贏二局、乙贏了一局時，因故（國王召見）要中止賭博，現在要分這100法郎.1654年帕斯卡提出了分法，在其解法里面也首次出現了“數學期望”.

本文通過借鑒詩松的《概率論與數理統計》、中山大學數力系翻譯的P.L.Meyer的《概率引論及統計應用》和石慶東發表在中國科技信息上的例談數學期望這篇文章，對數學期望的相關性質以及應用做了進一步的探討.

1.數學期望的定義

由于隨機變量分為離散隨機變量和連續隨機變量，所以在定義數學期望式分兩種情況.

1.1 離散隨機變量的數學期望

設離散隨機變量X的分布列為：

這里例題所求運用了期望的定理1，對隨機變量所得函數進行了期望計算.

3.2 數學期望在實際生活中的應用

3.2.1 數學期望在商店進貨問題中應用

例2 設某商店銷售某種商品，該商品每周的需求量ξ是一個服從區間[100，300] 上的均勻分布的隨機變量.正常情況下，每銷售一單位商品可獲利500元.若供大于求，則削價處理，每處理一單位剩余商品虧損100元；若供不應求，可以外部調劑供應，此時一單位商品獲利300元.問該商店進貨量應該為多少，可使平均每周的利潤達到最大？

y實際上為變量，對y求導得0，得到y=23.33.又因為 E L ″ y=-15<0.所以當y=23.33時，利潤的數學期望E L 取得最大值.

3.2.2 數學期望在法律糾紛中的應用

在民事糾紛案件中，受害人如果將案件提交法院訴訟，其不僅需要考慮訴訟勝利的可能性，還應該考慮承擔訴訟的費用問題.如果對案件進行理性思考，一般人往往會選擇私下解決而不通過法院.現在以一個民事糾紛案件來說明.

例3 某施工單位A在施工過程中由于某種原因致使居民B受傷，使居民受傷并使其遭受了20萬元的經濟損失.若將該案件提交訴訟，則訴訟費共需要0.8萬元，并按所負責任的比例雙方共同承擔.而根據案件發生的情形以及外部因素的影響，法院最后的判決可能有三種情況：

（1）施工單位A承擔事故100 % 責任，要向受害人B支付20萬元的賠償費，并支付訴訟費0.8萬元；

（2）施工單位A承擔70 % 的責任，要向受害人B支付14萬元的賠償費，并支付訴訟費0.56萬元，另外0.24萬元訴訟費由受害人支付；

（3）施工單位A承擔50 % 的責任，要向受害人B支付10萬元的賠償費，并支付訴訟費0.4萬元，另外0.4萬元訴訟費由受害人支付.

居民B估計法院三種判決的可能性分別為0.2，0.6，02，如果施工單位A想私下和解而免于訴訟，至少應向受害人B賠償多少數額的賠償費，才能使受害居民B從經濟利益考慮而選擇私下和解？

首先從受害人B的角度來看受害人通過法院訴訟所獲得的期望賠償.設受害人B上訴可獲賠償為：（萬元），則ξ的分布列：

由上述分析和求解可以看出，若從經濟利益角度來看，私下和解賠償給受害人B的數額應該不超過14.976萬元，否則，私下和解對于施工單位A便失去了意義.

結束語

本論文主要涉及了數學期望的概念，性質，定理并通過商品進貨，法律問題方面的舉例來說明數學期望在實際生活中的應用.整體是由數學期望的理論轉向其在實際生活中的應用.

從上述眾多性質和所列舉的例子中可以體會到數學期望的奇妙之處和應用的廣泛性，它是減少隨機性的重要手段，在涉及概率統計和決策時，往往會利用數學期望理論，但數學期望只是一種平均值，在實際問題中往往要結合其他的數字特征才能更好的解決問題.

【參考文獻】

[1] 茆詩聰，程依明.概率論與數理統計教程[M] .北京：高等出版社，2015.

[2] P.L.Meyer著，中山大學數力系翻譯.概率引論及統計應用[M] .北京：高等教育出版社，1986.

[3] 石慶東.例談數學期的應用[J] .中國科技信息，2008，21（6）：189.

[4] 上海財經大學應用數學系.概率論語數理統計[M] .上海：上海財經大學出版社，2012.