入乎其內 出乎其外

【摘 要】“正方形中的45°美”一課通過一個基本圖形的變換，以核心知識點為線索展開變式教學，將核心思想方法穿插其間，通過數學模型的構建與變化，既“入乎其內”，又“出乎其外”，引導學生大膽猜想、小心求證，直抵數學的本質，讓學習真正發生，從而提高學生的數學思維能力和數學素養。

【關鍵詞】數學模型；本質特征；入乎其內；出乎其外；課例評析

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）33-0130-03

【作者簡介】章曉東，江蘇省無錫市甘露學校（江蘇無錫，214117）校長，江蘇省特級教師，江蘇省首批基礎教育課程改革先進個人，省教育廳教師培訓中心“送培到市縣”專家組成員，常熟理工學院繼續教育學院兼職教授。

前不久，我有幸參加了江蘇教育報刊總社與江蘇省中小學教研室聯合主辦的“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動，對王湘云老師的一節數學課“正方形中的45°美”印象頗深。

這節課通過正方形與一個45°角疊合而成的圖形的變換（旋轉、翻折），以核心知識點（正方形、全等三角形、45°角）為線索展開變式教學，將核心思想方法（類比、特殊到一般、截長補短法）穿插其間，通過數學模型的構建與變化，引導學生大膽猜想、小心求證，直抵數學的本質，讓學習真正發生，從而提高學生的數學思維能力和數學素養。

一、入乎其內，從“建模”到“識模”

1.構建模型。

王老師一開始就給出了一個正方形，問學生它有哪些性質？顯然，學生很容易回答四個角都是直角，四條邊相等。這樣做的好處是面向全體學生，知識起點低，能夠激活學生已有的知識積淀，讓每個學生都能夠獲得成功的體驗。在這個基礎上，王老師將三角板中45°角的頂點與正方形的頂點A重合，將角的一邊與正方形的一邊AB重合（特殊位置），再旋轉到一般位置（幾何畫板演示），從而得到本課的一個重要的基本圖形，參見本刊前面王湘云老師的文章中的圖1。

接下來，王老師引導學生大膽猜測：在將45°角繞頂點A旋轉過程中，△EFC的周長是否會發生改變。有學生猜測△EFC的周長等于兩個邊長，關鍵在于證EF=BE+DF。教師讓學生上講臺用幾何畫板進行實驗操作，拖動點E，使45°角繞點A旋轉，讓學生在他喜歡的位置停下來，請其他學生注意觀察測量數據EF與BE+DF的變化，結果發現無論在特殊位置還是一般位置，兩者的長度是相等的。然后，學生通過“截長補短”法中的“補短法”證明了猜測的結論。學生經歷了基本圖形呈現、大膽猜測、操作測量（合情推理）、證明驗證（演繹推理）、數學思想方法提煉的數學學習過程。整個過程“以學定教、以教促學”，一氣呵成地奠定了本課的基本數學模型，為后續學習作了很好的鋪墊。

這個數學模型的核心知識點是正方形中AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，∠EAF=45°以及建立在核心知識點上的核心思想方法，如特殊到一般，二次全等，截長補短法，從而完成了一個基本模型的構建，雖然對學生來說還只是停留在淺層次的解決問題的層面，還無法理解整個模型的數學本質特征，但畢竟有了初步的成功體驗。

可見，數學學習是一個由淺入深，螺旋遞進的理解、探究和解決問題，進而領悟數學本質的過程。在這個過程中，學生的學習常常是從一個基本問題出發再逐漸進入數學學習的情景中去的。

2.識別模型。

王老師緊接著提出：在45°角的頂點繞點A逆時針繼續轉動過程中，圖形發生了什么變化？讓學生仔細觀察，動手畫圖，親身體驗45°角與正方形∠CAB重合再旋轉到形外的過程。而且在問題的設計上更加開放，如教師問：若繼續連接EF，你想研究什么問題？有學生說想繼續研究BE+DF是否還等于EF？馬上有學生提出不同意見（觀察度量），并猜想BE-DF可能等于EF。這時教師又讓學生通過幾何畫板的測量功能驗證了這個新的結論。當學生在用截長法證明結論的過程中思維出現卡殼時，教師很智慧地把問題拋給學生：誰可以幫助一下？馬上有學生幫助解決了。這樣的生生互動，師生互動常常出現在王老師的課堂里，不斷地推動學生的學習向深度進行。

通過教師的不斷追問，學生對數學模型的識別能力增強了，對模型的數學本質屬性也越來越清晰了。學生不僅知道了“形變法不變，全等沒變”，更慢慢地知道了內隱在“方法不變”背后的數學本質是“因為線段的長度和角的度數沒變”（正方形與45°角）。如果王老師能夠在這里再追問一下，△EFC的周長還會是正方形邊長的兩倍嗎？如果不是，則還會是定值嗎？這樣做，就會很好地呼應例題1提出的猜想，讓學生感悟，在圖形變化中，雖然方法沒變，但有些結論卻變化了。

二、出乎其外，從“用模”到“出模”

1.運用模型。

我們再來看王老師精心設計的第三個例題：如王文中圖5，已知正方形ABCD的邊長為12，E是BC邊上的中點，將△ABE沿AE折疊到△AFE，延長EF交DC于點G，連接AG。探究：你能得到哪些結論？

此題的圖形和例題1幾乎是一模一樣的，表面上看似乎條件也發生了變化，題目中原先已知的45°角不見了（其實是被折疊的條件隱藏了），∠EAG“化動為靜”了（E點固定了，成為BC的中點），邊長也告訴你是12了，條件增加了，背景也復雜了些（增加了非本質特征）。但圖形中本質的核心條件一點都沒變，如正方形中AB=AD，∠B=∠D=90°，∠BAD=90°，外加被折疊隱藏的∠EAG=45°，所以核心的方法沒變（截長補短法），核心的結論沒變（EG=DG+BE，△EGC的周長是正方形邊長的兩倍）。

如果王老師在這里還是緊緊扣住數學模型的本質，適時引導學生來回顧總結基于“正方形和45°角”這樣三個特殊的數學模型，而不是對例題3進行問題發散（盡管留到課后思考好了），則會給學生留下足夠的時間來發現其中的規律。一是核心知識點的總結：蘊含在正方形中的核心條件是AB=AD，∠B=∠D=90°，本質的條件其實是∠B+∠D=90°+90°=180°，這是一次全等的重要條件，還有∠BAD=90°及外加的∠EAF=45°（圖5中是∠EAG，以下同），其實本質的條件是∠EAF=∠BAD，這是二次全等的重要條件，這才是數學模型最本質的特征，也是后續探究特殊模型到一般模型的基礎。二是核心方法的總結：三個例題的方法既“求同”（都統稱是截長補短法），又“存異”，需要學生靈活運用，如例題1中用了補短法，因為截長法行不通，而例題2中使用的卻是截長法，例題1中過點A作EF的垂線段（也是截長法），但也行不通，但例題3中的折疊，正是作垂線段（截長法）的體現。三是核心結論的總結：當E點在正方形BC邊上（如例1例3），則EF=BE+DF（EG=DG+BE），△EFC（△EGC）的周長是正方形邊長BC的2倍（定值），當E點在正方形BC邊上的延長線上（如例2），則結論變為BE-DF=EF，△EFC的周長是BE的2倍（非定值）。如果教師能有時間在總結中進一步揭示三個問題的同一性與差異性，將使學生的思維更具深刻性和靈活性。

2.跳出模型。

正如王老師在教學結束時所說，若保持圖形和結論的同一性，我們可以繼續做如下研究：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=30°。求證：EF=BE+FD。若使問題（模型）更具有一般性，則可以探究：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=■∠BAD，圖1中的結論是否仍然成立？其實還可以繼續追問（如圖1、2）：如果逆時針旋轉∠EAF，使得E點在BC的延長線上結果又如何呢？甚至還可以引導學生課后思考：在原有條件不變的前提下，四邊形ABCD（如圖2）變成五邊形、六邊形……，結論是否發生變化？

另外，有學生提出，我們今天探究的是正方形中與45°角相關的問題，我還想繼續研究在正方形中若∠EAF為30°或60°特殊角時，圖形中存在什么結論？甚至有學生提出正三角形中與30°相關的問題是不是有類似的結論呢？即：如圖3，在正三角形ABC中，∠DAE=30°，試探究BD、DE、CE之間的數量關系。王老師在教學過程中不斷引導學生做一個快樂的發現者、學習的建構者，建構自己的知識，思考、尋找自己的答案，激發學生進一步研究的興趣并確定研究的方向。在這樣的教學過程中，學生經歷了從構建特殊數學模型到探究一般數學模型甚至還超越數學模型的研究過程。

數學學習的過程從某種意義上說是學生理解領悟數學本質的過程。數學本質雖然普適和樸實，但常常內隱于表象之中。我們在數學專題教學中，需要從基本的數學模型出發，讓學生逐漸領悟蘊含其中的數學知識、方法和思想，然后變換不同的背景、角度進行探究，引導學生“淡化技巧，注重本質”，從而使其非本質特征逐漸淡化，本質特征逐漸凸顯。從長期的意義上來講，真正影響一個學生的思想、行為是在學習過程中所形成的習慣、思維方法，而不是數學模型本身，所以我們必須挖掘技巧背后的問題解決的本質，才能真正意義上地培養學生的思維能力。

只有這樣，學生才能真正做到既“入乎其內”（入模），構建基本的數學模型，理解數學方法與技巧，體現思維的嚴謹性和深刻性；又“出乎其外”（出模），跳出特殊的數學模型，走向更加一般的數學模型，甚至提出并構建新的數學模型，達到“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”的境界，從而讓學生真正領悟數學的本質與思想，彰顯思維的靈活性和獨創性，“讓數學學習真正發生”。