談兒童數學教育視角下的“推理能力”培養

張秋爽

【摘 要】推理是數學的基本思維方式，也是學習和生活中經常使用的思維方式。教師在培養學生推理能力的過程中，首先要明確各個學段推理能力的目標，通過不完全歸納推理，讓概念學習獲得真理解；通過類比推理，讓猜想推斷得以落實。所以教師要挖掘教學內容中承載的推理能力的素材，引導學生參與數學活動，發展合情推理能力，給學生提供交流和表達的時空。

【關鍵詞】推理能力 合情推理 歸納推理 類比推理 演繹推理

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中，介紹了10個核心概念，也就是小學生的數學核心素養，其中就有推理能力；而數學的基本思想包括數學抽象、數學推理和數學模型。由此可見，推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。學習數學就是要學習推理。具有一定的推理能力是培養學生數學素養的重要內容，也是數學課程和課堂教學的重要目標。推理一般包括合情推理和演繹推理，推理能力的發展應該貫穿于整個數學學習過程中。

一、基于兒童的推理能力目標分析

推理能力在課標中是這樣表述的：推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論。

推理能力培養的學段目標是有層次的，從提出簡單的猜想到發展合情推理能力再到合情推理能力和演繹推理能力并重。明確了目標，也給教學實踐指明了方向。實現目標的路徑是無窮的，關鍵在于教師在教育教學過程中要有意識、有方法、循序漸進、由淺入深地逐步落實。

二、基于兒童的推理能力發展策略

基于對兒童數學教育的實踐研究，圍繞推理的不同類別，站在兒童的立場，尊重學生的個性差異，結合教學內容提出以下三方面培養學生推理能力的策略。

（一）不完全歸納推理，讓概念學習獲得真理解

概念的學習需要多個例證，正例、反例、變式，讓學生經歷不完全歸納推理的過程，獲得對概念的真正理解，也就是概念的建立需要舉三反一。下面就以“倍的認識”這個概念為例，談談如何進行讓學生經歷不完全歸納推理的過程。

師：從圖中你看出了哪些數學信息？

生：公雞有2只，母雞有4只，小雞有8只。

師：公雞、小雞和母雞從數量上比較，它們之間有什么關系？

生：小雞比公雞多6只，母雞比小雞少4只……

出示圖：一個一個地比（同樣多，多的部分）

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師：這是一個一個地進行比較，除了這樣比之外，你還想怎么比？

生：能兩個兩個地比嗎？能三個三個地比嗎？

師：好問題！你們試試吧。兩個兩個地比會是什么樣呢？三個三個地比該怎么表示呢？

生：母雞的只數是公雞的2倍。

師：誰能夠想一個辦法，讓別人一眼就能看出母雞的只數是公雞只數的2倍？（出示學具擺一擺）

學生展示匯報：公雞有2只，母雞有2個2只，小雞有4個2只。

師：剛才我們用圈一圈、擺一擺的方法找到了小雞只數和公雞只數的關系。你能用同樣的方法找一找母雞和小雞只數之間的關系嗎？找到之后和同桌說一說。

學生匯報：

生：母雞有4只，小雞有2個4只，小雞的只數是母雞的2倍。

生：公雞有2只，小雞有4個2只，小雞的只數是公雞的4倍。

出示：還可以一份一份地比（倍數），幾個幾

師：從你的介紹，我們就進入了對“倍”的認識。（板書課題）要想小雞的只數是公雞的5倍，怎么辦？

生：再填上2只小雞，這樣小雞有5個2只，小雞的只數就是公雞的5倍。

師：要想使小雞的只數是公雞的6倍呢、7倍呢？

生：公雞有2只，小雞有6個2只，小雞的只數就是公雞的6倍。

生：公雞有一份，是2只，小雞有這樣的6份，也就是6個2只，我們就說小雞的只數就是公雞的6倍。

師：誰能用一句話說一說，小雞和公雞之間的倍數關系？

生：公雞有一份，小雞有這樣的幾份，我們就說小雞是公雞的幾倍。

師：真會總結！我們回顧一下，剛才我們拿公雞和母雞比、公雞和小雞比、母雞和小雞比，學習了倍的知識。為什么同樣是8只小雞，一會兒是公雞的4倍，一會兒又是母雞的2倍呢？

生：因為它們比的標準不一樣，8只和2只比，8只和4只比，一份的數量不一樣，得出的幾份也就不一樣了。

這個小片段，結合學生已有的經驗，讓學生感受到兩個量比較時有倍的關系，將倍的認識納入已有知識結構中。通過幾個例子讓學生對“倍“這個概念有初步的認知，正是這幾個例子讓兒童經歷不完全歸納推理的過程，隨著一份一份小雞的增加，小雞和公雞之間的關系躍然紙上，學生漸漸理解：事物之間數量的比較還可以一份一份地比，這就是倍。

（二）類比推理，讓猜想推斷得以落實

在我們的思維、日常談話、一般結論以及表演藝術方法和最高科學成就中，無不充滿了類比。類比推理是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一屬性也相同或相似的一種推理。它是從特殊到特殊的推理。類比推理也是一種或然性的推理。運用類比法的關鍵：尋找一個合適的類比對象，設法把它說清楚。可以從哪些方面進行類比呢？

1.結構相似的類比

三年級學習了“長方形、正方形的周長和面積”，讓學生探索規律：周長一定時，圍成的長方形、正方形的面積，哪個大？通過操作、設數枚舉，得出了正方形面積比長方形面積大，同樣圍的都是長方形，長和寬越接近的長方形面積越大的規律。規律的獲得，應用了不完全歸納推理得出結論。當六年級學了圓，周長一定時，圍成的長方形、正方形、圓哪個圖形的面積大呢？圍成的圓的面積是最大的，這也是由淺入深，通過推理讓學生的知識結構形成網絡的過程。

受前面規律的啟發，可以產生如下聯想：既然周長一定，圍成的四邊形中，圍成的正方形面積比長方形面積大，那么周長一定時，圍成的三角形，什么三角形的面積最大？

學生紛紛進行了猜測。

生：圍成的鈍角三角形面積最大。

生：圍成的銳角三角形面積最大。

生：圍成的直角三角形面積最大。

生：圍成的等腰三角形面積最大。

生：圍成的等邊三角形面積最大。

通過結構性類比，在這么多猜測中，我們能推斷：在定周長的所有三角形中，等邊三角形的面積最大，利用設數、拼擺等方式進行驗證。找規律的實質就是通過不完全歸納、猜想、驗證、聯想等合情推理方式，實現從特殊向一般轉化的過程。

2.高維和低維的類比

在平面圖形學習中，學生學習了長方形，知道長方形的面積=長×寬。

那么，在立體圖形中，長方體的體積是否也具有和長方形類似的形式？這就是從二維空間類比到三維空間。

古典故事中，魯班發明了鋸，采用的就是類比推理的思維方式。除了上面介紹的兩種類比方式外，還有復雜問題及其簡化后的類比，數式與圖形的類比，有限和無限的類比，方法類比和形式類比等。

類比推理具有或然性，所以還需要小心求證，類比只是一種猜想，思考的范圍和方向，更主要的是還需要驗證，從而對新結構、新思考的正確性做到心中有數。

運用類比法，從新知識聯想到舊知識，展示知識的獲取過程，起了新舊知識的紐帶作用，可以使知識間縱向溝通；運用類比法，展開豐富的想象，產生遷移，可以加強知識間的橫向聯系。運用類比法，鮮明地形成了清晰、系統的知識網絡，閃耀著創造的火花。

（三）演繹推理，讓概念在應用中得以深化

演繹推理，又稱論證推理，它是思維過程中從一般到特殊，前提與結論有蘊含關系，按照邏輯推理的法則證明和計算，得到某個具體結論的推理。它的基本形式是三段論。數學證明主要是運用演繹推理。

在教學正方形面積計算公式時，我們通過演繹推理得到：因為長方形面積=長×寬，正方形是長和寬相等的長方形，所以正方形面積=邊長×邊長；判斷35能否被2整除時，利用的就是演繹推理，推斷結論是否正確。

以往數學教學注重發展學生的演繹推理能力，對發展學生的合情推理能力重視不夠。數學不僅需要演繹推理，同樣需要合情推理。教學中應引導學生觀察、實驗、歸納、類比獲得猜想，然后通過演繹推理證明猜想是否正確。

三、基于兒童推理能力培養的教學建議

（一）教師要挖掘教學內容中承載的推理能力的素材，做到有意識

在每一節課的教與學的過程中，教師的引導作用尤為重要；教師不僅要教好具有顯性推理的教學內容，更重要的是要有意識去挖掘教學內容背后隱含的推理素材，從中提取有價值的信息，為課堂所用。所以教師要明確每一個教學內容背后承載的能培養學生推理能力的素材，做到心中有數，明確教什么，清楚每一節課到底讓兒童獲得什么。只有這樣，教師才能有意識地進行引導和滲透。有數學思考的課堂，才厚重！

（二）引導學生參與數學活動，發展合情推理能力，做到有經歷

在教學中，不論是概念理解，還是法則的歸納，不論是探索規律，還是問題解決，其實都離不開猜想、驗證、比較、歸納、概括等思維方式，這也是合情推理所依賴的載體。

在“數學百花園”這個單元，有“比較”這一教學內容，如下圖：

師：仔細觀察圖，看看你了解到了哪些數學信息？

生：左圖里的3只小狗和3只小貓重30千克，右圖里的3只小狗和1只小貓重26千克，求一只小狗和一只小貓各重多少千克？

師：你準確地讀出了數學信息和問題，觀察得很仔細！

生：左圖比右圖多了2只小貓，還多了4千克。

師：通過觀察，你還把兩幅圖進行比較，讀出了隱含的信息。

生：如果從左圖中拿走1只小貓，放在右圖，兩幅圖就一樣多了。

師：誰聽明白了他的說法？

生：左圖里的3只小狗和3只小貓重30千克，右圖里的3只小狗和1只小貓重26千克，從左圖移動1只小貓放到右圖，兩幅圖同樣多，都是3只小狗和2只小貓。

生：我還知道了1只小狗和1只小貓共重10千克。

師：你怎么知道的？

生：3只小狗和3只小貓合起來是30千克，我把1只小狗和1只小貓分為一組，這樣一組就是把30平均分成3份，每一份是10千克。

師：你真會推理，誰聽懂了他的說法？

生：因為3只小狗和3只小貓共重30千克，所以1只小狗和1只小貓就是10千克。

師：你真會表達，這樣說，我們全明白了。

生：1只小狗和1只小貓共重10千克，可以設數來解決問題。假設小狗重9千克，小貓重1千克；還可以設小狗重8千克，小貓重2千克……

以上片段，讓我們清晰地感覺到：觀察是推理的基礎，直覺的洞察是創新的來源，細致觀察才能有與眾不同的發現，五名學生讀題的視角，從讀直接信息到讀出隱含信息，從一一對應到分組對應，從移多補少到和不變設數推理中的函數思想，都是推理不同形式的再現。五名學生讀題的視角，蘊含著四種不同的解決問題的策略，不同策略的形成來源于數學的直覺、類比、觀察、比較、歸納、猜想、聯想等。

（三）給學生提供交流和表達的時空，做到有根據

鼓勵兒童清楚地表達推理過程，在有條理的表達中，體現思維的有序性。當然也離不開教師適時適度地訓練他們進行有條有理的表達。

一年級學習了“認識鐘表”，老師給學生提供4塊表盤，內容是：明明7點在家里吃早餐；8點在學校上課；10點做廣播體操，中午12點放學。讓學生通過這4塊表盤上時針和分針的位置關系，得出分針指向12，時針指向幾就是幾時。這是學生經歷了不完全歸納推理得出的結論。

五年級判斷125能否被3整除。說說你是怎么想的？因為能被3整除的數的特征是這個數各個數位上的數之和為3的倍數，這個數就能被3整除；而125各個數位上的數之和是8，不是3的倍數；所以125不是3的倍數。這就是在利用推理的三段論來表達，也是利用演繹推理的過程。

總之，教學中要結合具體的內容培養學生的推理能力，讓學生經歷過程，使其思維可視化，讓學生在有條有理、有根有據的表達中，把自己的思考過程呈現出來，以培養學生的邏輯思維能力。讓學生會用數學的思維方式想事、做事是數學課的最高追求。

參考文獻：

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[3]顧曉東.小學數學教材中的類比推理及教學策略[J].教學與管理，2015（7）.

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