教學反思：階的估計方法在極限問題中的應用

周黎

摘 要：無窮量包括無窮大量和無窮小量是高等數學中非常經典的一個概念，無窮量階的估計經常用于各種極限問題的處理和證明上，通過無窮量階的應用可以在很大程度上簡化問題的計算，使得計算的結果更加的準確，證明的過程更加的嚴謹。因而在高等數學中得到了極為廣泛的應用，本文以幾個典型的例題為例對階的估計方法在處理極限問題中的應用進行了介紹，對于階的估計方法在極限問題中的典型的應用進行了闡述，為該方法在極限問題中的應用進行總結提出了新的思路。

關鍵詞：階估計；極限；級數；收斂

一、階估計的得到

在泰勒公式的推論中可以利用相關的結論得到較為常見的階估計，泰勒公式的推論的定理如下，假設在屬于的某個鄰域中，是存在的，并且存在如下的關系：

那么就存在如下的關系：

上述公式在的鄰域中是成立的，那么這就是泰勒公式的推論。該臺了公式的推論可以被用來得到幾個較為常用的階估計，比如如果當滿足條件當x的數值趨近于的時候那函數的數值也趨近于0，那么就存在如下的關系：

那么就存在下面的階估計，比如函數的正弦函數可以寫成如下的形式：

相應的的正切函數可以在相應的鄰域范圍以內可以展開成為如下的形式：

函數的余弦函數可以在相應的鄰域的范圍之內可以展開為如下的形式：

那么對應的常用對數函數可以在起相應的鄰域范圍之內站開如下的形式：

該函數的指數函數可以寫成如下的形式：

相對應的該函數的指數函數在其對應的定義域內部可以站開成如下的形式：

這些對應的階估計在極限問題的處理過程中具有非常典型的應用，首先這些階估計可以用于極限的求取。

二、利用階估計求取極限

假設例題形式如下，求取下面公式的極限：

進而就可以利用階估計來處理該極限問題，由于當x的值趨近于0的時候的數值與sinx的函數的數值是相等的，因而將x看作為是f（x）的話可以得出如下的關系：

而例題中的指數部分的數值當x的數值趨近于0的時候可以利用泰勒公式進行處理如下：

因而原公式：

可以寫為變形為如下的形式：

當x的數值趨近于0 的時候數值x的二階無窮小肯定為0因而上述極限的數值就變為了，即該極限問題就迎刃而解，可以看到在上述公式當中曾經多次用到了無窮小量的性質以及相對應的替換，推算的過程中不僅較為簡單便捷而且過程較為嚴謹，如在上述公式推導的過程中巧妙的利用了公式將等式右邊的形式變為等式左邊的形式，并且還巧妙的利用的形式將等式左邊的形式轉化為等式右邊的形式，然后進行化簡就得到最終較為簡化的形式，可以看到在這求極限的過程中多次用到了無窮小量階的估計，較為巧妙的利用了泰勒公式可以在x趨近于某個值得范圍內展開成為泰勒級數以及無窮小量和的性質。簡化了證明的過程，并且也使得證明計算的過程更加方便和準確提高了結題的效率。

三、判斷級數是否收斂

無窮小量的階的估計方法不僅可以用于求解極限問題而且還被廣泛的應用于判斷級數是否收斂等問題的證明上，如以下面的問題為例來看一下對應的無窮小量階的估計如何用于判斷級數是否收斂，假設有下面的問題：

判斷該級數是否會收斂？當我們看到這個問題的時候首先考慮將積分號內部的形式進行變化，如可以將利用泰勒級數的性質進行展開，該級數的含義也就是隨著數值n的不斷增大來判斷該級數是否為收斂，那么可以將其展開為如下的形式：

因而可以利用來判斷前者是否收斂，由于前者小于后者，而隨著數值n的不斷增大后者是收斂的，因而前者更應該是收斂的，因此利用比較判別的方法就可以確定該級數是收斂的，在這個例題中利用泰勒公式可以在x屬于一定的范圍內將其進行展開，由于知道x的取值范圍在0-1＼N之間因而隨著n的數值的增大，該數值是不斷趨于0的，所以x的數值不斷趨于0的，因而可以在該范圍內對函數利用泰勒級數進行展開，展開成為如上述公式所示的形式，由于括號內部的第一部分取定積分之后的數值顯然為0，進而只剩下最后一部分也就是x的二分之五次方的高階無窮小，因而就到了最終化簡的形式。

如果，，如果存在，那么就會存在如下的關系：

試著利用階的估計的性質來證明該關系？首先由于關系的存在，那么存在任意的一個數值大于0，對于任意的大于0的正數N來講，一定存在下面的關系：

，那么對于任意的M>N來講存在下面的關系，隨著數值數值的不斷增大，一直增大到無窮，對于給定的上述參數一定存在如下的關系M的數值大于N的數值，存在如下的關系：

進而就可以得到如下的關系：

進而可以得到下面的關系：

再來看下面的一個例子用于級數收斂的證明，假設存在，當，那么久存在下面的關系：

在該等式的證明過程中可以先假定等式右邊的極限是存在的，并且假設右邊的極限值為a也就是：

那么就存在如下的關系：

由于，并且，因而通過定理可以得到如下的關系：

由此就可以得到：

對上面的等式兩邊同時除以那么就得到了如下的等式：

因而當n的數值趨近于無窮大的情況下，如果存在a的數值為正無窮的話那么就存在，進而當進而先前的結論得到證明。

四、實例應用

在從以下幾個例子來說明階的估計的方法在極限問題處理過程中的應用，首先來看第一個例題，當的時候，當和二者的數值滿足什么樣的條件下，才會使得下面的公式為二階的無窮小，并且在此基礎上思考y的最高階可以為多少？

通過上述的問題我們可以看出隨著當x的數值趨近于0的時候，上述公式中的很多個關于x的函數是可以進行替換的，利用泰勒公式將其在x趨近于0的范圍內部將cosx和sinx進行展開，展開為無窮小和的形式。如下所示：

即當x的數值趨近于0的時候，上述三個公式左邊的形式可以利用右邊的形式來進行表示，然后將公式中的三個量用上述三個公式中的左邊的形式用右邊的形式進行代替然后對其進行相應的化簡就可以得到如下所示的最終的結果：

我們可以從上面的公式非常容易的看出，當的數值為-1的時候上述公式為x二次方的高階無窮小，當的數值為-1，的數值為3的時候，上述代數式為x四次方的高階無窮小。

再來看下面的一個關于極限計算的問題，當n趨近于無窮大的時候下面公式的極限值

當n趨近于無窮大的還好可以利用高階無窮小的方式對上述代數式中的某些數值進行替換，比如，然后對K的數值進行求和的話可以知道對于K的倒數從1到數值n進行求和與對1和K倒數和的常用對數函數的求和的最終的結果是一樣的，因而對于K的倒數進行求和的最終結果可以寫成如下的形式，也就是n的常用對數與1和n的倒數和的常用對數以及數值K的平方的倒數的高階無窮小的和以及K的平方的倒數和的高階無窮小。由于在可以非常明顯的看出K的平方倒數高階無窮小的和在K趨近于正的無窮的過程中是收斂的。并且K平方倒數對于x的定積分x的范圍為h-1到h的話要小于x的平方倒數的積分制，那么在上述的情況下就會出現K的平方的倒數的和要小于數值n的倒數，所以K的倒數的和酒可以寫成為n的常用對數值與常數c的和在加上n的倒數的高階的無窮小。那么最初的題目中要求的求n+1的倒數值一直到2n的倒數的和就可以最終化為數值2的常用對數值加數值n的倒數的高階無情小，很顯然當n數值趨近于無窮大的時候該上述題目所求的極限值就為2的常用對數。

再來看下面的例題假設函數，那么試著證明下面的關系，從所要證明的關系來看，幾分的數值主要集中在當x=0的時候，假設存在，那么上述公式左邊的部分就可以進行相應的變換，最終可以寫為兩個關于數值h的函數。其中一部分可以寫為關于f（0）的一個代數式，然后利用高階無窮小的替換可以最終謝偉數值與數值h的次方的高階無窮小，相應的最終該公式可以簡化為數值與f（0）的乘積然后在加上上述h的次方的高階無窮小，然后再加上1的高階無窮小，并且數值的范圍為大于0小于1，那么上述公式就可以最終演化為數值與f（0）的乘積。

五、結語

通過上面的例題可以看出階的估計方法在處理和極限有關的問題過程中得到了非常廣泛的應用，利用階的估計方法替換極限問題中的某些量，或者是在允許的范圍內將某個函數進行展開，通過替換大大的簡化了問題的分析過程，通過對階的估計方法應用的總結，為該方法的理解與應用以及與之相關教學方法的改進具有十分重要的實踐意義。

參考文獻：

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（作者單位：達州職業技術學院）