授之以魚不如授之以漁

王姣

中圖分類號：G633文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）03-0018-02

課前思考

在數學教學活動中學生要學會的不僅僅是一堂課的內容，更是要學生通過一節課的經歷，能夠掌握一種完整的研究問題的科學方法。通過這樣的一堂課，教師向學生傳遞了方法和經驗，使得學生在今后的學習中，當碰到問題的時候會形成有解決問題的思路和方法，授人以魚不如授人以漁，這是本節課希望達成的教學效果。

在《三角形的面積》學習前，學生已經充分認識了三角形的特征，掌握了長方形、正方形、平行四邊形面積計算，而緊跟其后的內容是梯形、組合圖形的面積?！度切蔚拿娣e》最大的特點就是要突出實踐性、研究性、尤其是要強化學生的動手操作能力，學會完整的研究方法。通過教材，可以看出本課是希望讓學生通過一系列的操作研究明白所學圖形和已學圖形之間的聯系，新課前學生不僅要牢固掌握平行四邊形的面積，還要熟悉對三角形的特征以及三角形底高相對應?；谔剿魅切蚊娣e計算公式是本節課的重點，但是如何探索，怎樣探索是本課需要突破的難點，本課設計意圖旨在學生通過思考，操作，驗證獲得解決問題的能力，掌握完整的研究方法。

教學過程

課前測試

計算三種平面圖形的面積。

1、長方形；2、平行四邊形；3、三角形。

班級總人數46人，第一題46名學生全部正確，第二題46人全部正確，第三題13人正確。

設計意圖，通過課前測試回顧已學圖形的面積，并了解學生對三角形形面積的了解情況。

根據課前的測試，教師溝通總結提升

當平行四邊形的一組底和高正好是它的一組相鄰的底邊時，就成了正方形或者長方形。作為特殊的平行四邊形，長方形和正方形的面積事實上也是可以用S=ah來表示。

由此可見，知識之間的聯系是非常緊密的（板書：聯系），只要找到這些聯系，也就發現了數學問題的本質，那么對于進一步的學習便有了依據。這是因為在很多情況下，我們可以通過知識之間的聯系，把新學習的知識轉化為已有的舊知識來學習。

通過復習我們已經進一步理解了這些平行四邊形的面積計算方法，知道平行四邊形的面積是和它的底和高有關系，那么今天要學習的三角形的面積和它的底高有怎樣的關系呢？

驗證（或探索）三角形面積公式

1、探究方法的確定。根據復習鋪墊，教師引導提問，三角形的面積如何計算？（生：把三角形也轉化成我們會求面積的圖形來計算。）

（1）現有水平的呈現。根據課前測試，一部分學生根據公式計算出了三角形的面積，另一部分學生還不知道三角形的面積公式是怎樣的形式。

教師提問，你怎么知道三角形的面積=底×高÷2的？

會計算的學生表示只是看到或者聽說三角形的面積計算方法，但是對于三角形的面積公式是如何得來的并不清楚。

不會計算三角形面積的學生，提出困惑，三角形的面積該怎么推導出來。

（2）確定研究對象。根據問題，確定要研究的對象，但對象要如何把握，教師引導提問，任意一個三角形面積都能用底×高÷2計算嗎？要怎樣證明？

學生思考，教師追問，是把每種三角形都研究一遍嗎？三角形有無數個，要逐個研究透是需要花較多時間的，有限的時間做無限的事情是不可能的。提出根據三角形角的特征分類，這樣只要研究直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形這三類三角形即可。

為了保證課堂時間，需要大家一起共同完成這個目標。

（3）確定研究形式：合作、分工。研究透三種三角形，課堂時間有限，萬一來不及怎么辦？按組分工，每組確定準備研究哪類三角形，確定自己要研究的三角形的類型后，到老師那里領取自己需要材料，開始小組分工合作操作。

（4）確定具體的研究方法。教師引導，你們已經選好了要研究的這類三角形，那具體怎么去研究呢？用什么方法來呈現你們的思考過程？

（5）小組討論

2、動手操作、合作探究

教師ppt呈現合作要求：

（1）獨立思考；（2）小組交流，完成實驗記錄；（3）方法匯總；（4）準備匯報。

實驗過程記錄組別：姓名：

我們組研究的是三角形，我們組使用（）個（） 的三角形得到（）

小組討論：拼成的新圖形面積和原來三角形面積有什么關系？

請用鉛筆和直尺標出你所研究的三角形和得到的新圖形的底和高。再研究下面的問題：

a、原三角形的底等于拼成的（）形的（）；

b、原三角形的高等于拼成的（）形的（）；

c、原三角形的面積等于拼成的（）形的（）；

所以我可以得出三角形的面積=

3、思維碰撞，提煉對比。師：我們先請研究銳角三角形的小組介紹他們的方法，看看你能不能聽明白為什么三角形面積=底×高÷2？

生1：我們的方法是轉化成平行四邊形，我們組研究的是銳角三角形，我們組使用兩個完全一樣的銳角三角形，拼成一個平行四邊形；

教師給予表揚和肯定，能不能具體說一說你是怎么轉化的？這里要求學生說清楚：是用兩個完全一樣的三角形拼成了一個平行四邊形。

師：師：你的平行四邊形和原來的三角形有什么關系？

生2：倍數關系，三角形面積是它所拼成的平行四邊形的面積的一半。

師：觀察圖，平行四邊形的底高分別和三角形的底高有什么關系？

生3：三角形的底就是平行四邊形的底，三角形的高就是拼成的平行四邊形的高，

師：那么三角形面積應該是怎樣的？

生4：平行四邊形的面積是底乘以高，三角形的面積即底乘以高除以2。

師：為什么除以2？

生5：因為底乘以高只是兩個完全一樣的三角形拼成的平行四邊形的面積，除以2得到的就是所要求得三角形的面積。

生共同得到銳角三角形面積公式：s=ah÷2。

師：直角三角形和鈍角三角形有沒有相同的研究方法，有的小組直接貼到黑板上進行展示。

師：通過倍拼的辦法，我們得出三角形的面積=s=ah÷2。

師：還有其他不同的研究方法嗎？

生6：我們研究的是一個銳角三角形，把一個三角形通過割和補也能轉化得到平行四邊形，如圖，原來三角形的底就是平行四邊形的底，平行四邊形的高是原來三角形高的一半，所以三角形的面積是底乘以（高除以2），也就是底乘以高除以2。

師：你真了不起，這種復雜的過程你都能想到，而且結果正確，非常值得我們大家學習。

生7：還有一種割補法（底÷2），方法同上。

師：有沒有用這種方法研究直角三角形和鈍角三角形的，有的請直接貼到黑板上，同學們真聰明，想到了很多辦法，不管哪種方法、哪類三角形，我們發現它的面積都可以用底×高÷2進行計算，那么現在我們是不是可以下結論：任意一個三角形的面積=底×高÷2是成立的？

生：完全同意。

師：用字母表示，可以寫成S=ah÷2。

師課件回顧填空式總結，

在探索三角形的面積時我們使用了轉化的思想，將三角形面積轉化為平行四邊形的面積。在轉化的過程中，可以使用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形來研究，即倍拼法，發現平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高，根據平行四邊形的面積我們推出，三角形的面積等于底乘以高除以2；

還可以使用一個三角形，轉化為平行四邊形，即割補法，這個平行四邊形的高（底）是三角形的高（底）除以2，平行四邊形的底（高）就是三角形的底（高），根據平行四邊形的面積我們推出，三角形的面積等于底乘以高除以2。

4、鞏固練習

師：知道了公式我們可以怎么用？

生：求面積。只要知道了三角形的底和高就能知道它的面積。

師：還可以知道什么？

生：知道面積和底求高；或者知道面積和高去求底。

師：怎么求？

生：面積乘以2再除以高（底）就得到底（高）。

師：為什么要乘以2.

生：轉化為等底等高的平行四邊形

師：計算三角形面積。

（1）（2）（3）

生：獨立完成

交流答案

師：為什么第（3）題不用5×4÷2計算呢？

生：底高要對應

師：第（3）題中5對應的高是多少？

生：獨立計算，交流。

5、課堂回顧總結

師：今天我們研究的是什么？

生：三角形的面積

師：我們是怎么研究的？

生：通過拼、割補、畫將新知識轉化成舊知識。

師：梯形和圓的面積公式我們還沒學過，你覺得可以用什么方法研究？

生：嘗試轉化為學過的圖形面積。

師：你們的猜測對不對呢？等我們下次學習的時候再去探索。

反思

整節課以“轉化”的思想貫穿始終，按照有序的研究思路解決問題，在學習三角形的面積之前已經有很多學生會計算，但是僅限于知其然，而整堂課的目的就是在于讓學生不僅知其然還要知其所以然。教材目標僅僅是讓學生通過拼的方法得到平行四邊形，很多情況下教師直接給出學生材料，即兩個完全一樣的各類三角形讓學生探索，但是這種探索前提已經被教師設定好了框架，學生的思維直接被局限，學生也很難再有更多想法的機會。

本節課教師讓位學生，通過適時的引導，讓學生真正獨立的去研究，將大部分的時間花在兩部分，一是充裕的思考時間，學生面對要研究的三角形，會產生很多想法，問題難點在于如何轉化成學過的平行四邊形，以及轉化成的平行四邊形與原三角形之間有怎樣的聯系。

教學中，教師要充分的相信學生的合作能力，判斷能力，由于是分工合作，組內成員有想法的可以帶動想法較為薄弱的，生生互動的效果更優于師生互動的效果，一堂課帶給學生的不應該只是一個結論，更重要的是學生親身體驗到獲得結論的過程和方法。但也有不足：

首先，本節課的教學目標是經歷操作、觀察、比較、討論、歸納等探索活動，體驗三角形面積計算公式的推導過程，并能應用公式計算面積；進一步學習用轉化的思想方法解決新的問題，發展實踐能力，豐富空間觀念；培養合作研究、共同發展的學習品質。目標定位讓數學學習能力較弱的學生感到吃力。

其次，在操作活動過程中，部分小組是組內人員分別獨自研究沒有合作的意識，這樣的現象源于教師在分組前應明確每一個成員的任務，做到人人有任務，成果是集體的成果。

一節課的整體能夠決定是成是敗，但是細節之處方能成就精彩，因此在后續或者再次執教本節課，都需要教師繼續在細節花上時間和功夫。最后還有一點疑問和困惑，像這樣的公式推導課，許多學生在課前就已經知道具體的公式了，在這樣的基礎之上，該構建怎樣的數學邏輯？是遵從學生學習的經驗邏輯還是按照教材的知識邏輯來進行呢？

（作者單位：杭州市余杭區喬司中心小學）