畫法幾何求直線實(shí)長與傾角教法的探討

楊莉

摘要：針對(duì)空間解析幾何求一般位置直線實(shí)長的方法，論述了直角三角形法和換面法兩種方法，對(duì)比一般的教學(xué)方法，探討出新的教學(xué)方法，結(jié)合典型實(shí)例進(jìn)行分析求解，通過應(yīng)用于教學(xué)實(shí)際，效果較好。

關(guān)鍵詞：直角三角形法；換面法；直線實(shí)長

中圖分類號(hào)：TU204文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）03-0133-01

引言

當(dāng)空間直線或平面對(duì)投影面處于一般位置時(shí)，它們的投影都不反映其真實(shí)長度、大小和形狀，也不反映實(shí)際距離和夾角，如何求一般位置的實(shí)際長度以及與投影面的夾角，也是工程實(shí)際需要解決的問題，如同一個(gè)管道處于無法測(cè)量的位置，要求出它的實(shí)際長度，類似的工程問題的應(yīng)用，需要從畫法幾何的角度進(jìn)行求解。一般的教學(xué)法里有利用空間直線具有長、寬、高三個(gè)尺度，即實(shí)長的平方等于長的平方加寬的平方加高的平方[1]，為了解決此問題，探討了兩種求解方法，即直角三角形法和換面法。

1.直角三角形法

（1）直角三角形法的新教法。為了更加直觀的理解一般位置直線在三個(gè)投影面的投影特性，將三個(gè)投影面理解成教室中由地面（H 面）、側(cè)墻面（W 面）和黑板面（V 面）組成。[2]一般位置直線就相當(dāng)于在這三個(gè)投影面中的投影。將三個(gè)投影面組成的立體空間中的一般位置直線轉(zhuǎn)換成平面求解空間直線的實(shí)長及對(duì)各投影面傾角的求法。

如圖1（a）所示，若已知H面上直線AB的投影ab，要求出直線AB的實(shí)長以及與H面的傾角，需要過a（b）做一條直線，且該直線垂直于ab，量取△Z（直線兩端A和B點(diǎn)的Z坐標(biāo)值之差），過b（a）點(diǎn)首尾連接成斜邊，此斜邊就是空間直線AB的實(shí)長，直角三角形中△Z邊對(duì)著的夾角即為直線AB與H面的夾角α。

如圖1（b）所示，若已知V面上直線AB的投影ab，要求出直線AB的實(shí)長以及與V面的傾角，需要過a（b）做一條直線，且該直線垂直于ab，量取△Y（直線兩端A和B點(diǎn)的Y坐標(biāo)值之差），過b（a）點(diǎn)首尾連接成斜邊，此斜邊為實(shí)長，△Y所對(duì)夾角即為β。

如圖1（c）所示，若已知W面上直線AB的投影a”b”，要求直線AB的實(shí)長與傾角γ，需要過a”（b”）做一條直線，且該直線垂直于a”b”，量取△W（直線兩端A和B點(diǎn)的W坐標(biāo)值之差），過b”（a”）點(diǎn)首尾連接成斜邊，此斜邊為實(shí)長，△X所對(duì)夾角即為γ。

（2）直角三角形法的應(yīng)用

如圖2（a）所示，已知一般位置直線AB的V面投影ab和H面投影ab，要求實(shí)長和傾角α。

按上述方法進(jìn)行作圖求解，如圖1（a）直角三角形，已知ab，要求出直線AB的實(shí)長以及與H面的傾角。作圖求解步驟為圖2（b）和圖2（c），需要過a（b）做一條直線，且該直線垂直于ab，量取△Z（Z坐標(biāo)值之差），過b（a）點(diǎn)首尾連接成斜邊，此斜邊就是空間直線AB的實(shí)長，直角三角形中△Z所對(duì)夾角即α。

同理，求實(shí)長和傾角β用直角三角形法圖1（b）求實(shí)長和傾角γ用直角三角形法圖1（c）。

2.換面法

（1）換面法的原理。投影變換是研究如何通過改變空間幾何元素（點(diǎn)、線、面）與投影面的相對(duì)位置或改變投射方向達(dá)到簡(jiǎn)化解題的目的，投影面處于特殊位置求一般位置直線的實(shí)長及其與投影面的夾角，其應(yīng)用有三種情況，一是求一般位置直線的實(shí)長及與H面的夾角α，二是求一般位置直線的實(shí)長及與V面的夾角β，三是求一般位置直線的實(shí)長及與W面的夾角γ。

（2）換面法的應(yīng)用

如圖3（a）所示，已知條件如圖2（a），要求直線AB的實(shí)長和傾角α。用換面法將V面換成V1面， 作圖求解法如圖3（b）所示，做平行于OX軸的新軸O1 X1，使aa1的連線和bb1的連線垂直于新軸O1 X1，再量取a1到新軸O1 X1的距離等于a 到舊軸OX的距離，量取b1到新軸O1 X1的距離等于b 到舊軸OX的距離，連接a1b1，即為直線AB的實(shí)長，過a1作平形與O1 X1的直線，該直線與投影a1b1的夾角即為α。同理，如圖3（c）若換將H面換成H1面，則可求出直線AB的實(shí)長和V面的傾角β。

3.結(jié)論

本文闡述了空間解析幾何中一般位置直線求解實(shí)長和對(duì)應(yīng)面夾角的方法，分析了直角三角形的新教法和實(shí)際應(yīng)用，換面法求解相同問題的方法和應(yīng)用，通過作圖求解，用直角三角形法和換面法都可以解決同樣的問題，兩種方法都具可行性。

（作者單位：四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院）

參考文獻(xiàn)：

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