超越算術教數學

洪亮

一、從學生“方程會列不會解”現象說起

五年級學習列方程解應用題：果園里桃樹和杏樹一共有180棵，杏樹的棵數是桃樹的3倍。桃樹和杏樹各有多少棵？在教學中，學生往往舉一反三地列出“不會解的方程”來：

設桃樹有x棵：180-x=3x；180-3x=x；

設杏樹有x棵：180-x=x÷3；

……

遇到這些情況，教師往往會表揚學生的求異思維，但同時指出，這些方程雖然好列，但現在不太好解，希望大家學會列我們會解的方程。

諸如此類學生“方程會列不會解”的現象在小學數學教學中經常遇到，尤其在小學畢業(yè)總復習階段。因此有必要討論一下，學生真的就“會列不會解”嗎？

原小學數學修訂大綱曾明確指出：“簡易方程的內容只講到ax±b=c，ax±bx=c，不講等式的基本性質和移項法則?！倍n程標準在第二學段“式與方程”中卻提及：“理解等式的性質，會用等式的性質解答簡單的方程（如3x+2=5，2x-x=3）。”兩者的表述有很大差別。第一，課程標準一改大綱所“不講等式的基本性質”為要求“理解等式的性質”。這是一個很大的進步。第二，課程標準未明確提出“只講”，而是提出“如……”形式，這給我們的教學提出了新要求。那我們應怎樣來領會并落實課標這一新理念呢？

二、對一道解方程題的兩次教學嘗試

第一次教學描述：

教學內容：解方程：ax±b=cx。

教學對象：五年級（上學期）。

教學目的：能進行簡單的恒等變形，即把ax±b=cx變形為ax±cx=b，同時溝通兩者之間的聯系；培養(yǎng)學生運用已有的知識經驗解決新問題的意識與能力。

教學過程：

復習：解方程：7x-4x=6。（略）

改題：解方程：4x+6=7x。

學生嘗試解答：

4x+6=7x

解 7x-4x=6

3x=6

x=2。

師生討論：

師：說說為什么把4x+6=7x寫成7x-4x=6？

生：我感覺4x+6=7x這道方程的等式左右兩邊都有未知數x，不好直接求。而原來的方程，未知數都在等式的一邊，可以直接合并相加減。

師：也就是說，這兩道方程是有聯系的。那比較兩個方程有什么聯系呢？

生：在原來的方程里，6是7x與x的差，在新方程里6是一個加數，也正好是7x與4x的差。

師：這給我們一個啟發(fā)，當未知數不在等式的同一邊時，我們應怎么辦？

生：我們應想辦法把未知數改寫到同一邊。

師：改寫的時候，要保證原來等式兩邊依然相等，這叫作恒等變形。

鞏固練習：將下列方程進行恒等變形：

x+7=2x，80-2x=3x。（略）

教學反思：

應該說，上面的教學嘗試還是比較成功的。學生能主動借助所學過的加減關系進行恒等變形，完全適應他們的認知能力。但這種基于加減關系的恒等變形，并未對他們所具有的對方程的認知結構產生影響，沒有樹立起“恒等”的思想認識，距離課程標準所提倡的“理解等式的性質，會用等式的性質解答簡單的方程”還很遠。

什么是等式的性質？第一，等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式；第二， 等式兩邊都乘（或除以）同一個數（除數不能是0），所得結果仍是等式。對于這兩條性質，現在的五年級學生從未接觸過，現在又怎樣來實施新的教學呢？由此，我進行了第二次教學嘗試。

第二次教學描述：

出示方程x+2=5，要求學生口答。

師：這道方程大家都會解答。比較原來的方程與現在方程的解x+2=5，x=3。你們能不能發(fā)現，我們要求出這個方程的解，就是要把這個方程最后變成怎樣的等式？

生：等號一邊是未知數x，另一邊是得數。

師：比較等號左邊，原來是x+2，怎樣就變成x了？右邊又要進行怎樣的運算？

生：只要把等號左右兩邊都同時減去2就行了。

師：也就是說，等式兩邊都減去同一個數，所得結果仍是等式。

再出示：x-2=5。

師：這道方程，大家只要怎么辦就能使得等號左邊只有未知數x了？

生：只要在等號兩邊同時加上2就行了。

師：大家剛才實際上發(fā)現了一個關于等式的重要性質，誰來說一說，你有什么發(fā)現？

生：等式兩邊都加上（或減去）同一個數，所得結果仍是等式。

出示兩道方程：4x-6=2x和4x-2x=6。

提出要求：比較這兩道方程，哪一道容易解答？為什么？

生：第二道，因為第一道方程中的未知數在等號兩邊，不好直接求未知數x。

師：那你們能不能應用等式的性質把第一道方程變形為第二道方程呢？

生：只要把等號兩邊都去掉2x再加上6就行了。

師：說得好，板書如下：

4x-6=2x

4x-6-2x+6=2x-2x+6

4x-2x=6

練習：（略）

教學反思：

“方程”是什么？很多學生都知道：含有未知數的等式就叫作方程。但真正讓學生判別諸如ax±b=cx此類方程時，許多學生總有一絲疑慮，這種方程我們沒有遇到過呀，怎么解呢？在他們心里能不能解這道方程與判別這是不是方程似乎有著非常重要的聯系。誠然，這種思維是有局限的，但這種思維又恰恰就是學生的思維。我們不應該總是以承認的觀點來看待學生，看待學生的數學?，F行修訂版教材遵循原來的教材體系，給學生限定方程的形式與內容，看起來是減輕學生的學習負擔，其實是給學生一個殘缺的認識。因此需要我們站在一個較高的層次上用現代數學的觀念去審視與處理教材，向學生傳遞一個完整的數學思想，幫助學生建立一個融會貫通的數學認知結構。上面對“ax±b=cx”方程的教學嘗試，對于學生來說，可能就是一扇窺探數學世界的窗口，也許這樣的嘗試對所有的學生來說可能有些難度，但我想這樣的嘗試對學生的所得來說要遠遠大于這一點難度造成的障礙。