讓智慧在指尖靈動

王宜琴

數學實驗，特別是小學階段的數學實驗，是學生通過觀察、操作、試驗等實踐活動，習得知識、提高技能、積累經驗、發展應用意識的一種學習方式。新課標提出：“教材應選用合適的學習素材，介紹知識的背景；設計必要的數學活動，讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應用。”

陶行知先生曾在《行是知之始》一文中指出“行是知之始，知是行之成”，大致意思是：實踐是獲得認知的必經途徑，只有實踐才能出真知。文中指出：親知為一切知識之根本，和新課程標準提出的動手實踐、自主探索、合作交流的思想不謀而合。數學實驗提倡讓學生在親身實踐、體驗后獲取知識，并學會運用所學知識解決實際問題，這正是陶行知先生“行是知之始”思想的體現。

數學實驗融入了課堂，選擇數學實驗的內容按一定的教學目的設計，并根據教學實際的需要安排，實驗的內容一般是比較成熟的，但對學生來說卻是一次全新的體驗和挑戰。因此，在數學實驗實施的過程中，教師指導下的數學實驗是否合理，這也是一個值得探討的問題。本文結合自身教學實際，談談自己的一些看法。

一、實驗的素材要充足

在數學實驗中，實驗素材的選擇和準備很重要。充分的實驗準備，合適的材料準備，能促進實驗有效進行，使教學效果事半功倍。

如《長方體和正方體的特征》這一課，在布置預習作業時，要求學生課前準備長方體紙盒2～3個，課堂上用來觀察、實驗、驗證，發現長方體面、頂點、棱的特征。在這里有一種特殊的長方體，那就是有兩個面是正方形、其余四個面是完全相同的長方形的長方體，再加上正方體紙盒在生活中也比較少見。在這種情況下，教師就要事先準備好這些特殊的長方體和正方體紙盒，以便在課堂上和學生一起觀察、研究，得出更為全面的結論。

又如教學《三角形的面積》時，課堂上實驗所探索的常規方法是：用兩個完全相同的三角形，拼出一個平行四邊形，再根據平行四邊形的面積計算公式推導出三角形的面積計算公式。在準備實驗素材時，課前要求讓學生剪出一些三角形，這里的三角形素材要全面，既有兩個完全相同的銳角三角形，也要有兩個完全相同的直角三角形和鈍角三角形。準備到這里，看似材料準備比較充足了，因為三角形按角分，就這三個類別。其實不然，有經驗的教師還會準備一組特殊的三角形，這兩個三角形看似差不多，但并不是完全相同，實驗時根本拼不出一個標準的平行四邊形，讓學生深刻體會到“完全相同”的真正含義：大小一樣，形狀一樣。

教具、學具等實驗素材是數學實驗的關鍵，不同的實驗材料直接影響著實驗的效果。教師要有優化創新的意識，依據實驗的目標與內容精心篩選、合理改進，甚至主動設計出合適的實驗素材，提升課堂實驗的教學效果。

二、實驗的目標要明確

教學目標是我們教學活動的出發點與歸宿，是教學主體在教學活動中要達到的預期目的。數學實驗是十分有效的再創造教學方法之一，不同于傳統概念上的動手操作，真實的數學實驗需要讓學生體會實驗的價值，有預期的目標，實驗是為達成教學目標服務的。

如三年級學習《可能性的大小》時，這一課的教學目標是認識和體驗事件發生的可能性是有大有小的，讓學生經歷一種探究學習的策略，即猜想—驗證—得出結論。如果在實驗開始前，教師認為實驗目的是為了證明“數量越多，發生的可能性越大；數量越少，發生的可能性越小”，直接告訴學生袋中是5個黃球和2個白球，然后組織學生開展摸球活動。其實，在實驗前根據“袋中的黃球數量比白球多”，學生很容易就能猜到“摸到黃球的可能性比摸到白球的可能性大”這一結論。這樣的實驗，看似達成教師的預期目標了，其實不然。但如果教師定位于“體會隨機思想”，不告訴學生們袋中兩種顏色的球的數目，而是讓學生在摸球實驗中體驗有時能摸到黃球有時也能摸到白球，但為什么摸到黃球和摸到白球的可能性不一樣呢？隨著實驗次數的增加，學生們發現摸到黃球的次數比摸到白球的次數多得多，由此推測袋中的黃球數量比白球多，最后再揭開謎底，讓學生體會到“可能性不僅有大有小，而且它的大小是和數量多少有關系”的。在這樣一個實驗過程中，學生不僅體會到隨機思想又經歷了統計，還有揭開謎底的強烈興趣。

由此看出，數學實驗需要鮮明的教學目標，凸顯實驗的教學價值。只有在準確把握教學目標的前提下，教師在組織數學實驗時，才能設計出合理的數學實驗，并對實驗結果做出合理的分析，從而達成預期的教學目標，這樣的實驗才不會演變成看熱鬧的“偽實驗”。

三、實驗的內容要適度

新課標提出：“教材應選用合適的學習素材，介紹知識的背景；設計必要的數學活動，讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應用。”一個科學的數學實驗往往有七個探究步驟：一、提出問題；二、猜想或假設；三、設計實驗；四、進行實驗；五、分析論證；六、得出結論；七、評估交流。在實際實驗過程中，每一個步驟根據實驗內容可能有所側重，但必須實實在在讓學生經歷實驗探索的過程。

例如：《三角形內角和》的教學片段

1.根據特殊三角形的內角和提出猜想。

（1）提問：今天我們一起來研究三角形的內角和。關于三角形的內角和，你想說些什么？

（2）三角形的世界實在是太大了，要研究三角形的內角和，不妨從我們熟悉的三角尺開始，看看有什么發現？

（3）根據三角尺已知的內角度數，算一算三角尺的內角和。

（4）再算一算由兩個相同的三角尺拼出的大三角形的內角和。

2.提出猜想：剛剛我們研究的是特殊的三角形，它的內角和是180°，其他三角形的內角和是不是也是180°呢？這就需要驗證。

3.實驗驗證。

（1）第一層次：教師提供的三角形。

①先量再算，驗證猜想，交流結果，感悟誤差：量的時候可能會有誤差，這就需要尋找更好的驗證方法。

②引導拼：如果三角形的內角和是180°，那么三個內角合起來就應該能拼成一個平角。學生實驗，拼三角形的三個內角，觀察是否能拼成一個平角。

③交流：畫一畫、撕一撕、折一折。

④思考：三角形的三個內角能拼成一個平角，說明了什么？

⑤質疑：現在能不能肯定“所有三角形的內角和一定是180°”呢？

（2）第二層次：學生自己做的三角形。

①用自己喜歡的方法去驗證自己做的三角形內角和是不是180°。

②交流：通過驗證，有沒有驗證出內角和不是180°的呢？

③小結：自己做的三角形，大小可能不同，形狀也可能不同，但是通過驗證，它們的內角和都是180°。

4.交流回顧：我們是經歷了怎樣的研究過程才得出今天這個結論的？

……

《三角形的內角和》屬于探究歸納式實驗，這是一個比較規范的數學實驗樣式。雖然很多學生早已聽說或者知道三角形的內角和是180°，那到底是不是180°呢？帶著這樣的疑問，通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思，讓學生的思維在同與異中不斷比較、辨析，讓知識變得清晰、明了和深刻。“數學是思維的體操。”數學實驗，撇開顯性的行為操作，其價值不僅僅在于得到一個結論，而是重在讓學生經歷規律探索的一般過程和方法，積累數學活動經驗，培養學生善于發現的眼光，提升學生的思維能力。在實際教學中，針對不同的教學內容，不同學生的知識基礎和認知水平，數學實驗的樣式也是多樣的，但實驗的內容一定是適度的。學生探索的規律往往是經歷從簡單到復雜，從特殊到一般的過程，如果內容難度太大，層次跨度太大，比如不帶領學生從生活中熟悉的三角尺入手，不以三角尺的內角和180°為載體，而是讓學生面對各式各樣的三角形，直接拋出：“三角形的內角和是多少？”這樣的實驗不僅達不成預期教學目標，反而徒增學生的負擔，浪費課堂的寶貴時間，還不利于學生的主動發展。

四、實驗的指導要適時

作為數學教學的組織者、引導者、合作者，教師在學生們的實驗活動中扮演著重要的角色。正如荷蘭數學教育家弗賴登塔爾所說：“指導再創造意味著在創造的自由性和指導的約束性之間，以及在學生們取得自己的了卻和滿足教師的要求之間達到一種微妙的平衡。”因此，在數學實驗的實施過程中，教師必須對每個實驗都做到心中有數，適時地點撥、指導和評價，發揮好教師的主導作用。

例如，五年級上冊《梯形的面積》，這一課不僅要讓學生掌握梯形的面積計算方法，更要讓學生經歷這一知識的形成過程，所以教師如何合理指導學生探究梯形的面積計算公式是本課的重點。

教學片段：

【環節1】教師：“我們在學習平行四邊形的面積、三角形的面積時，都是把它們轉化成已學過的圖形來研究。今天這節課我們來研究梯形的面積，想想它會轉化成哪一種圖形呢？”學生七嘴八舌：“我想轉化成三角形來研究。”“我想轉化成平行四邊形來研究。”“我想轉化成長方形來試一試。”教師適時引導：“轉化的方法有哪些呢？”生1：割補法。生2：拼合法。接下來讓學生分組合作探究，動手操作。

【環節2】小組派代表交流。第1組：我們是用兩個完全相同的梯形拼出了一個平行四邊形……所以得到梯形的面積=（上底+下底）÷2。第2組：我想把兩個同樣的梯形拼成三角形，結果發現不行。第3組：我想把兩個一樣的梯形拼成長方形，也不行。一般情況下，教學進行到這里，教學目標基本達成。

【環節3】面對第2組學生的疑問：“梯形”轉化成“三角形和長方形”真的不行嗎？教師就可以適時點撥：“既然你們小組用拼合的方法得不到三角形，那用割補的方法可以嗎？”也許，學生就能發現第二種方法了：把梯形沿著對角線分成兩個三角形，計算出兩個三角形的面積后，加起來就是梯形的面積。面對第3組提出把“梯形”轉化成“長方形”，教師也不要急于否定，而應該是讓學生去自主選擇去探究。關注這小組實驗過程，當它們不論是割補，還是拼合，都無法將梯形轉化成長方形時，教師要適時地給他們指點迷津。

“同學們，老師看到你們試了很多方法，都不能把梯形轉化成長方形，說明你們真的很愛動腦筋。要不我們換個角度，不如先把梯形先轉化成平行四邊形，然后再看平行四邊形可不可以通往你們想要的長方形？”通過教師這種“看似無意其實有意”的指導，或許學生就能發現將梯形直接轉化成平行四邊形的方法，這種發現的欣喜，必然在其腦海中沉淀為較為豐富的數學思維經驗。

這個案例告訴我們：在學生解決問題的過程中，要充分發揮教師在數學實驗中的導航作用，使得每一個數學實驗的設計都要和教師的講解相配套。教師在恰當的時機適時點撥、指導、評價，有時是幫助學生調整實驗的方向，有時是給學生滲透方法，有時是恰如其分的激勵評價，有時是引導學生反思比較，等等。只有在學生主體、教師主導有機結合的過程中，學生才能深刻地體驗到解決問題策略的多樣性，才能逐步提高分析與解決問題的能力。

總之，“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，借助數學實驗，學生能很好地在“行”之中“知”，在“知”中積累“行”的經驗。學生不是被動接受課本上的或老師敘述的現成結論，而是從自己的“數學現實”出發，通過自己動手、動腦，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得經驗。在此過程中，學生學會思考，讓智慧在指尖靈動，尋求到解決問題的途徑與方法，逐步建構并發展自己的數學認知結構。