提煉數學“核心問題”的四個步驟

張衛星

美國著名數學家哈爾莫斯曾說過：“問題是數學的心臟。”問題的實質是一種任務，它可以驅動學生主動去學習。數學教學中的“核心問題”是直指數學本質，涵蓋教學重點，需要學生深入思考，便于學生開展自主學習、探究學習和合作學習的一個或兩個問題。“直指數學本質”表明它具有濃郁的數學味，“需要學生深入思考”表明它具有較強的挑戰性，“便于學生探究學習”表明它具有恰當的開放度。數學“核心問題”還是一節課的“課眼”、一節課的“主線”、教材的重難點、學習的困惑點、數學思想方法的聚焦點、教師鉆研教材的著力點，對課堂教學起到牽一發而動全身的作用。因此，提煉每節數學課的“核心問題”，并圍繞“核心問題”的解決展開教學，在當下顯得尤為重要。那么，如何提煉數學教學中的“核心問題”呢？筆者認為，一般可以按以下四個步驟去提煉。下面，筆者以“平行與垂直”一課為例，談談數學“核心問題”的提煉過程。

一、 研讀教材，羅列問題

問題是為教學服務的，要想提煉“核心問題”，必須要深入研讀教材。只有把教材的縱向聯系、橫向聯系、公開信息和背后秘密都研讀透了，才有可能設計并提煉出有價值的“核心問題”。因此，筆者認為提煉“核心問題”的第一步就是研讀教材，在研讀的基礎上從教材導語和教材知識點兩個層面羅列或設計出課堂教學需要解決的一系列問題。

例如，“平行與垂直”是人教版四年級上冊數學第五單元第一課時的內容，是同一平面內兩條直線的兩種特殊的位置關系，是在學生認識了直線、線段、射線的性質，以及學習了角及角的度量等知識的基礎上學習的。“平行與垂直”在生活中有著很大的應用。在“空間與圖形”的領域中，“平行與垂直”是學生以后認識平行四邊形、梯形及長方體、正方體等幾何形體的基礎，同時也為培養學生的空間觀念提供了一個很好的載體。教材編排如圖1。

教材編寫者用較為豐富的版面展示了學生學習的過程，其中的學習導語主要由以下5個問題組成：

1.在紙上任意畫兩條直線，會有哪幾種情況？

2.把沒有相交的兩條直線再畫長一些會怎樣？

3.你能舉出生活中一些有關平行的例子嗎？

4.量一量，所畫的兩條相交直線組成的角分別是多少度？

5.你能舉出一些有關垂直的例子嗎？

同時，“平行與垂直”的概念非常重要，能否掌握直接影響到后續知識的學習。為此，筆者設計出如下13個有助于學生掌握概念的有效問題：

1.兩條怎樣的直線互相平行？

2.什么是平行線？

3.互相平行用什么符號表示？

4.什么是“同一平面”？

5.什么是“不相交”？

6.什么是“互相”？

7.互相平行有幾種情況？

8.兩條怎樣的直線互相垂直？

9.什么是垂線？

10.什么是垂足？

11.互相垂直用什么符號表示？

12.互相垂直有幾種情況？

13.互相垂直和相交有什么區別？

可見，當教師把教材研讀透了，數學教學問題的設計與羅列就會水到渠成。

二、 分析問題，明晰教法

問題羅列好了，教師就必須分析這些問題，通過分析就能明白教材的編排意圖及概念的內涵及外延。當我們把問題分析透了，教學思路也就會自然而然地清晰起來。當然，分析問題需要教育智慧的投入，沒有智慧的投入，問題分析就會淺嘗輒止。因此，教師在分析問題時要靜下心來，厘清問題的來龍去脈。

例如，教材提供的第1個問題：“在紙上任意畫兩條直線，會有哪幾種情況？”既是讓學生積累數學基本活動經驗，又是讓學生體驗分類思想；第2個問題：“把沒有相交的兩條直線再畫長一些會怎樣？”其目的就是讓學生學會驗證；第3個問題：“你能舉出生活中一些有關平行的例子嗎？”其目的是拓展“平行”這一概念的外延；第4個問題：“量一量，所畫的兩條相交直線組成的角分別是多少度？”其目的也是讓學生學會驗證；第5個問題：“你能舉出一些有關垂直的例子嗎？”其目的也是讓學生拓展“垂直”這一概念的外延。教材提供的這5個問題不僅有序——按知識發生的過程設計，而且有關聯——前一個問題是后一個問題的基礎。同時，這5個問題還給我們提供了一種教學思路，即“平行與垂直”的教學要分兩個階段進行。第一階段，先讓學生在一張紙上隨意畫兩條直線，然后對部分學生作品進行展示和分類，接著對不相交的幾種情況進行延長式驗證，在此基礎上得出互相平行的相關概念及表示方法，最后讓學生舉出生活中一些平行的例子，以舉例來促進學生對概念外延的認識，同時也讓學生認識到平行的情況有很多種。第二階段，先定位于相交成直角的兩條直線，然后用量角器或三角尺進行驗證，在此基礎上得出互相垂直的相關概念及表示方法，最后讓學生舉出生活中有關垂直的例子，促進學生對概念的消化，同時也讓學生認識到垂直的情況多種多樣。由此可見，教材中展示的5個問題，內涵真的很豐富。

而筆者根據教材知識點設計的13個數學問題，比較全面、專業，可以讓學生對“平行與垂直”這兩個概念的認識更規范、更準確。但這13個問題比較瑣碎，需要教師智慧地整合。事實上，只有解決了這13個問題，才能讓學生真正認識“平行與垂直”的內涵和外延，從而讓后續的練習與教學更為有效。因此，這13個問題必須逐一落實，不能打折扣。

綜上所述，當我們把羅列的問題分析清了，教路和學路就會清晰地展示在我們眼前。

三、 梳理問題，確定權重

梳理問題，即對問題的內在聯系進行溝通，理清它們的前后聯系、價值大小等。一般來說，決定核心知識產生和發展過程的問題往往權重最大。因此，教師要關注每個問題是否都具有這個特性。當然，在梳理時要融入自己的教學經驗，只有經驗的參與，問題梳理才更有成效。

例如，教材直觀展示的5個問題中，筆者認為第一個問題最重要。因為學生畫的兩條直線會有各種情況，“會有哪幾種情況？”——意思是讓學生將兩條直線的位置情況分類。如果學生能將兩條直線的位置情況準確分類，那就表明學生對兩條直線的位置特征有了比較清楚的認識，那么后續的概念教學就變得比較順利。可見，第一個問題“會有哪幾種情況？”決定“平行與垂直”這兩個核心概念的發生發展過程，最有價值，權重最大。

再如，筆者根據教材知識點設計的13個問題都是圍繞“互相垂直”和“互相平行”這兩個概念來展開的，不言而喻，“兩條怎樣的直線互相平行？”和“兩條怎樣的直線互相垂直？”這兩個問題最關鍵，權重最大。而其余的11個問題都是為厘清這兩個問題服務的，作用也不可小覷。解決了“什么是‘同一平面”可以讓學生明白“平行與垂直”的前提；解決了“什么是‘互相”可以讓學生明白兩條平行線和兩條垂線的相互依存關系；解決了“互相垂直和相交有什么區別”可以讓學生厘清“相交”和“互相垂直”之間的包含關系。

當梳理完上述18個問題后，三個最關鍵、權重最大的問題自然就浮出了水面：

1.在紙上任意畫兩條直線，會有哪幾種情況？

2.兩條怎樣的直線互相平行？

3.兩條怎樣的直線互相垂直？

當權重最大的問題確定后，“核心問題”的提煉就接近成功了。

四、 改造問題，形成核心

數學概念比較抽象，需要學生在充分感知各種直觀情況的基礎上才能形成。上述權重最大的三個問題中，第一個問題是基礎，其目的是豐富學生的感性經驗并讓學生感受分類思想，因此只有完成第一個問題，第二個和第三個問題才能迎刃而解。鑒于此，第一個問題理應成為本課最關鍵的一個問題，即“核心問題”。但這個“核心問題”還比較粗糙，教師還應該根據自己的教學思路進行適度改造，從而讓它變成適應自己班級教學的“核心問題”。

例如，教材編寫者在“平行與垂直”概念建立的過程中滲透了分類這一數學思想，同時讓學生在分類的過程中積累數學基本活動經驗。筆者也認同教材這一思路，于是就把兩條直線的各種位置情況進行分類這一環節適當放大。但考慮到現實生活中，學生在課始環節就在一張紙上隨機畫兩條直線，出現標準平行線和標準垂線的概率較少，而且變式也不夠豐富，因此筆者決定在選擇學生作品的過程中，適度摻入幾幅自己事先畫好的標準的或變式的平行線和垂線，以充實學習素材，從而有利于后續教學的順利展開。筆者認為在學生隨機畫完后教師至少應展示如下七種情況（如圖2）：

至此，我們就可以把“在紙上任意畫兩條直線，會有哪幾種情況？”這一問題改造成更加切合實際教學的“核心問題”——“想一想，上述這些情況可以分成幾類？依據是什么？”這一“核心問題”中的“幾類”可以是一次分類，也可以是兩次分類，“依據”兩字直指“平行與垂直”的本質特征。

總之，抓住一個核心，設計一個能激發學生探究的問題，對學生、對教師都是非常有意義的，因為一個真正的問題比一千個答案更重要。“核心問題”能將眾多的知識點融會貫通，聚集學生思維，把繁雜的問題設計得簡單化、精練化，可以留給學生更多學習的時間和空間。當教師把“核心問題”提煉好了，教學重點和教學思路也就清晰了。在這個“核心問題”的引領下，再將其余問題適當有序地推進，就可以讓學生的思維有序提升，從而輕松理解數學知識的內涵和外延，這無疑就是提煉數學“核心問題”的出發點和歸宿點。