例談計算教學中不同表征方式的運用

王少平

小學生以直觀形象思維為主，抽象邏輯思維能力不強，這就決定了他們接受數學知識的過程是以線性的方式進行的，從而使其思維表征也以鮮明的線性方式經歷動作表征、圖像表征，最后到符號表征。如何順應小學生的這一思維特點，促進計算教學過程中各環節之間的邏輯聯系？本文以“兩位數乘一位數”為例，探究線性思維方式下計算教學的各個環節中多種表征方式的靈活運用，以促進小學生對算理的理解與計算方法的掌握。

一、借助動作表征加強對算理的直觀感知

教學“兩位數乘一位數”時，教師安排學生用擺小棒的方法得出“48×2”的結果，學生的擺法如下：

這種擺法是正確的，但還不能讓人一眼就看出結果。怎樣才能讓人一眼就看出結果呢？于是學生繼續操作小棒，便有了下面的操作（見圖2）：

學生們理由是：“……右邊的8根加8根等于16根，16里面有1個十和6個一，把1個十捆起來得到一捆，放到左邊8捆的下面，就是9捆，即90，加上右邊的6根，就是96根。”

兩位數乘一位數，計算時先把一位數與兩位數個位上的數相乘，滿十要向前一位進位，算法相對于算理是抽象的，小學三年級的學生抽象概括能力較弱，當他們借助具體的小棒來進行實際操作時，這種抽象的算法就在擺小棒中直觀地呈現出來。在擺小棒的過程中，抽象的算法被具體可觸摸的小棒所代替，但又不失小棒的可操作性，有力地幫助學生在知識形成的感知階段加強了直觀感性認識，建立起正確明晰的算法表象。

二、 借助圖像表征形成內在思維影像

操作完小棒之后，教師給學生布置任務：“不看小棒圖，在頭腦中回想一下，剛才是怎樣得出‘48×2的結果的？”

學生閉上眼睛開始在腦中回想擺小棒的過程，并按照教師的要求把自己回想出來的內容說給同桌同學聽。

這一回想的過程，學生擺脫了具體可感的小棒實物，僅依托操作過程中形成的動作表征在自己的頭腦中通過回想形成“實物影像”。這一過程實際上就是擺脫具體實物，原有的模型（小棒圖）消失，自己制作原來實物的心像。因為回想的過程是把原來的操作過程以心像的形式在頭腦中呈現，所以說在這一過程中活躍的是學生的內在思維。通過“想一想”使操作環節中大量的過程性信息得以整體地表征出來，從而為將要進行的學習活動有一個整體的把握。同時，使學生個體可以在頭腦中建立起牢固的“兩位數應分別與整數相乘，再把乘得的積相加”這一計算影像。如果說，操作中形成的動作表征是幫助學生在知覺上獲得了大量信息，那么圖像表征則通過回想建立“兩位數乘一位數”方法的心像，二者的結合為學生進行抽象層面上的創新思維提供了可能。這就意味著通過回想建立起的圖像表征成為由動作表征過渡到符號表征的中介。

三、 借助符號表征抽象概括算法

學生在頭腦中回想并相互交流之后，教師讓學生結合擺小棒和在頭腦中回想的過程，用豎式把計算過程記錄下來。學生結合已有的“不進位的兩位數乘一位數”經驗，獨立思考寫出豎式，呈現如圖3：

這兩個豎式的書寫過程既再現了動作表征的全過程，又使圖像表征得以外顯，是學生內在思維的真實展現。同時，這兩道豎式溝通了動作表征和圖像表征之間的聯系，既體現了“48×2”就是2個40與2個8的和這一直觀算理，同時又體現了用4和8分別與2 相乘再把積相加的算法。無論是從操作的角度還是從思維的角度，這種以數字符號表征的方式是最好的記載方式。因為它既可以再現外在操作的過程，也可以再現內在的思維過程。同時，其簡潔的記錄形式決定了它是一種具有普遍性的表征方式，易于在學生頭腦中儲存。

為了解決本節課的教學難點——“進位”問題，隨后教師讓學生比較上面兩道豎式在計算中的相同之處，同時聯系動手操作時是如何將16根小棒變成一個十和6個一的，有效地引導學生理解“進位”的必要性，從而將豎式簡化（圖4）。

這時，學生的思維不再依賴于模型和影像，而是以符號作為思維活動的材料，形成了以符號為表征的具有普遍性的算法，這也標志著學生的思維已經向抽象概括邁出了一大步。

算理的直觀性和算法的抽象性之間存在一定矛盾，小學低年級學生的線性思維特點容易造成學習中各個環節的不連貫、出現知識點之間缺少邏輯聯系的弱點。像上面的案例那樣，在教學中循序漸進，靈活借助各種數學表征方式，在教學的各個環節對不同的表征方式靈活轉化，則可以不斷促進學生抽象思維能力的提升。當然，學習的不同環節運用何種表征方式并不是固定的，應根據不同的教學目標選擇合適的表征方式，靈活運用，以促進學生對知識的理解與內化。