高中數(shù)學分類討論策略的應(yīng)用研究

黃美玉

摘 要：分類討論是高中數(shù)學最常用的解題方法之一，其不僅是一種邏輯方法，也是一種重要的數(shù)學思想。與分類討論有關(guān)的數(shù)學問題具有很明顯的邏輯性、綜合性和探索性，其能夠有效地訓練學生思維的條理性和概括性，也是近年來高考試題中常用的解題方法。下面我就結(jié)合自己的教學經(jīng)驗，簡單介紹一下高中數(shù)學分類討論策略的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；分類討論；應(yīng)用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2016）06-001-02

在解答一些數(shù)學問題時，有時會出現(xiàn)多種情況，對各類情況進行逐類求解，然后再綜合歸納，這就是我們常說的分類討論法。運用這種方法解題，可以將對問題的宏觀研究變?yōu)閷栴}的局部分析，尤其是在求解的頭緒繁多、有易重易漏問題時，分類討論方法有獨特的功效。需要進行分類討論的情況有很多，其中最常見的有以下四類：一是根據(jù)絕對值的定義進行分類討論；二是根據(jù)函數(shù)定義域等定理限制進行分類討論；三是根據(jù)圖形位置進行分類討論；四是根據(jù)運算的要求進行分類討論。其解題的一般思路有三個步驟：首先，弄清分類原因，找準分類對象；其次，選擇分類標準，正確做出分類；最后，明確分類層次，優(yōu)化分類順序。下面我就來簡單說明一下。

一、根據(jù)絕對值定義進行分類討論

數(shù)學中的有些概念是分類定義的，像是絕對值、分段函數(shù)等，這就要求我們在解題時不能一概而論。而要根據(jù)題目的具體情況對其進行分類討論。

例1.解不等式|2x+1|+|x-1|>6.

分析：該題中含有絕對值，我們在解題時首先想到的是要去掉絕對值，但是由于兩個絕對值符號去掉的條件不同，我們要對此進行分類討論。

解：令2x+1=0，得x=-；令x-1=0，x=1

可見在實數(shù)集內(nèi)應(yīng)以-，1為分類標準，分成三個區(qū)間討論求解：①當x≤- 時，原不等式可化為-2x-1+1-x>6，解得x<-2；②當-6，解得x>4；③當x>1時，原不等式可化為2x+1+x-1>6，解得x>2.

綜上，x<-2或x>2，故原不等式的解集為{x| x<-2或x>2}.

評注：在涉及到絕對值的問題時，我們經(jīng)常都需要分類討論，最常用的方法是零點討論分類，先去掉絕對值的符號然后再進行求解。下面我們來看一道在函數(shù)中對絕對值符號進行分類討論的例題。

例2.已知a∈R，函數(shù)f（x）=x2|x-2|.求使f（x）=x成立的x集合。

分析：由于該題中含有未知數(shù)，也含有絕對值，我們首先就要想到將絕對值符號去掉，那么要對x的取值情況進行討論；另外，由于該題中并沒有給出x的取值范圍，那么我們在做題時就要充分考慮到各種情況，以免造成疏漏。

解：由題意可得x2|x-2|=x.當x≠0時，該式可化為x|x-2|=1，此時：①當x>2時，該式可進一步化為x2-2x-1=0，得x=1±√2（1-√2不合前提舍去）；②當x≤2且x≠0時，該式可進一步化為2x- x2-1=0，即（x-1）2=0，得x=1.③當x=0時，顯然滿足f（x）=x.

綜上，滿足f（x）=x的x的集合為{x| x=0或x=1或x=1+√2}.

評注：該題的解題思路雖然有些復雜，卻是常規(guī)思路。在進行分類討論時，我們一定要注意將每種條件下得出的結(jié)果與原始條件進行對比，若是不符合條件則要舍去該答案，如本題中的x=1-√2，顯然不滿足小前提x>2，故舍去。面對復雜的分類討論問題時，尤其是面對多級的分類討論，我們一定要逐級思考，并逐級分析，最后再將結(jié)果進行匯總綜合，切忌越級思考，學習不是一蹴而就的，解題時更要循序漸進，否則難以理清問題的頭緒，使問題變得更加復雜。在分級時由小到大（或由大到小）依次進行討論可以避免遺漏。

二、根據(jù)函數(shù)定義域等定理限制進行分類討論

在有關(guān)函數(shù)的問題中，由于受到函數(shù)定義域的限制，我們在解題中常常會對題目進行分類討論，由于每種函數(shù)都有其不同的分類原則，對數(shù)函數(shù)的底數(shù)和真數(shù)等；三角函數(shù)中不同角的分類討論等。對于復合函數(shù)則需要我們綜合進行考慮，如考慮兩類函數(shù)的圖像問題。由于此類問題非常龐雜，我們暫不做介紹。下面我就以二次函數(shù)中對兩根大小的討論為例來進行說明。

例3.解關(guān)于x的不等式x2+（a2+a）x+a3>0.

分析：該不等式中的a為常數(shù)，要解該不等式，可以先將原不等式進行變形，然后再討論根的大小。在討論根的大小時，我們要綜合考慮到所有情況，尤其是特殊的情況，像是為零等。我們在做題時，為了避免造成解題的疏漏，分類討論中的特殊情況可以率先進行分析。

解：原不等式等價于（x+a）（x+ a2）>0，所對應(yīng)的方程的兩根為-a，-a2.①當a>1或a<0時，有-a>-a2，所以不等式的解集為：{x|x<- a2或x>-a}.②當a=1或a=0時，有-a=-a2，所以不等式的解集為：{x|x∈R 且x≠-a}.③當0-a2}.

評注：該題為對不等式的兩根的大小情況進行分類討論，在做題時要注意常數(shù)為零的情況。根據(jù)題目的不同情況，在做題時學生要綜合考慮根的情況，不缺項漏項，只要在平時的做題中注意總結(jié)與反思，將解題的策略與方法進行整理，并充分考慮到特殊情況，那么用分類討論的思想來解題就極其容易了。

三、根據(jù)圖形位置進行分類討論

在高中數(shù)學的平面幾何問題中，常有因為圖形的性質(zhì)不同而引發(fā)的分類討論。若是不注意對圖形的觀察，采用固定的思維模式，很可能考慮不全，從而失分。

例4.已知在直角坐標系中，⊙C與y軸相切，且點C的坐標為（1，0）.直線l過點A（-1，0），與⊙C切于點D.（1）求直線l的解析式。（2）在直線l上尋找點P，使△APC為等腰三角形，求點P的坐標。

分析：該題要使△APC為等腰三角形，由于沒有說明頂點與腰分別是哪個，因此，就要對該圖形的形狀進行分類討論。

解：（1）略解：連結(jié)CD，應(yīng)用點斜式方程可得直線l的解析式為y= x+.

（2）以等腰△APC的頂點為標準分類討論： ①當P為△APC的頂點時，則AC的中垂線為y軸，它與l的交點P（0，）為所求；②當C為△APC的頂點時，則點P與點A關(guān)于CD對稱（因為CD⊥AP），易得P（2，√3）為所求；③當A為△APC的頂點時，則在l上點A的兩側(cè)分別存在兩個點滿足條件，運用三角函數(shù)知識可得P（-√3-1，-1）或P（√3-1，1）為所求。

評注：在進行分類討論時，要找準分類的標準。解析幾何中圖形的位置不同，形狀不同，其點的坐標就會發(fā)生變化。

四、根據(jù)運算的要求進行分類討論

有些數(shù)學運算由于有嚴格的限制，我們在解題時必須按照一定的要求進行。這就要求學生要綜合掌握數(shù)學知識，并能將其熟練運用，融會貫通。像是分數(shù)的分子不為零等。對數(shù)中的真數(shù)部分必須要大于零等，將這些小知識點滲透到綜合題中，也是近幾年常見的考點之一。

例5.已知===k，求一次函數(shù)y=kx+k一定經(jīng)過的象限。

分析：要求一次函數(shù)一定經(jīng)過的象限，那么就要知道函數(shù)的關(guān)系式，即斜率k的值，那么就要根據(jù)已知條件進行求解。

解：由已知，得b+c= ak ，c+a =bk ， a+b =ck，將三式進行相加，得2（a+b+c）=（a+b+c）k.

當a+b+c≠0時，得k=2；

當a+b+c=0時，得b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，可得：k=-1.

綜上，一次函數(shù)的解析式為y=2x+2或y=-x-1。函數(shù)y=2x+2的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，函數(shù)y=-x-1的圖像經(jīng)過第二、三、四象限，因此其一定經(jīng)過的是第二、三象限。

評注：根據(jù)數(shù)學運算的要求分類討論，主要是要對數(shù)學問題的定理、運算定律等掌握，形成條件反射，在進行運算時就能自然而然地考慮到特殊的情況，進而得出問題的完整而正確的解。

分類討論不僅僅是一類題型，更是一種重要的解題思想，有變量就有分類討論的可能，因此我們不可能將分類討論的類型全部進行總結(jié)。但是在處理此類問題時也有一定的原則，即分類準確，不重復不遺漏。要想做到這一點，要遵從兩個步驟：一是要找關(guān)鍵點，并以關(guān)鍵點為分界依次進行分析；二是在多級分類時，要逐級討論，切忌跳級討論。

總之，我們在進行高中數(shù)學的教學時，傳授給學生知識只是一個小方面，我們更要注重對學生學習能力的培養(yǎng)。另外，數(shù)學問題的分類討論思想是培養(yǎng)學生概括性與條理性的有效手段。學生掌握了數(shù)學分析的思想，不僅有助于學生在解題時快速而準確地找到解題的思路，提高解題的效率，還有助于學生運用這種思維方式解決生活中的實際問題，養(yǎng)成學以致用的好習慣，從而在不知不覺中促進自己能力的全面提升。

[參考文獻]

[1] 石成效.高中數(shù)學專題復習與研究中用分類討論的思想解題

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