淺談有關恒成立問題的解題策略與技巧

程玲芝

摘 要：高中數學是學生在高中階段學習的重點和難點，“恒成立”問題是近年來高校招生考試中最重要的考點之一。為了使學生更好地理解并掌握高中數學的"恒成立”問題，我將簡要介紹這類問題的策略和技巧。

關鍵詞：恒成立；高中數學；解題技巧

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2016）06-001-02

很多高中生在解數學問題時，由于沒有掌握一定的解題策略與技巧，他們常常會覺得在數學學習中總是充滿了困難，那么我就來用恒成立的問題介紹下解題策略以及技巧。高中數學恒成立問題涉及到函數的性質、圖像，其中也滲透著數形結合等思想。通過讓學生進行這類題型的練習，有助于對學生的解題能力進行綜合的考查，并能夠幫助學生養成靈活性與創造性的數學思維。下面我結合我的教學經驗，談談恒成立問題的解題方法。

一、構造函數法

在解決問題時，該方法可以用來解決問題，根據函數的性質解題。但是在構造函數時我們需注意要確定出合適的變量與參數，若是不能正確地構造函數，會使解題步驟過于繁瑣，解題的思路也會更加復雜。因而，找出正確的函數關系，能夠使函數關系更加清晰明了，使數學問題解決起來更直觀簡便。對于大部分這類問題，我們通常會將已知存在范圍的量視為變量，而將待求范圍的量視為參數。例如：

例1.已知不等式2x-1>m（x2-1）對隨意的m∈[-2，2]都成立，求x 的取值范圍。

分析：該題為含有兩個變量的不等式，如果用不等式的性質等進行解題，難以實現，那么我們就會想到要構造相應的函數。因為許多學生的思維公式，很容易想到的不平等的討論，從而解決問題的過程是復雜的。若是轉變一下思路，既然m的取值范圍已知，那么我們可以將其作為自變量，構造出相應的函數，將x作為參數處理。

解：將原式移項得：m（x2-1）-（2x-1）<0.我們可以看出，不等式左側的式子與二次函數的形式非常相似，構造函數f（m）= m（x2-1）-（2x-1），則原不等式2x-1>m（x2-1）對任意的m∈[-2，2]都成立等價于f（m）<0對m∈[-2，2]恒成立。即當-2

f（2）=2（x2-1）-（2x-1）<0，即 -2x-1<0

f（-2）= -2（x2-1）-（2x-1）<0 2x2+2x-3>0

故x的取值范圍為（，）.

評注：該題將不等式恒成立問題通過構造相應的函數轉化為函數的自變量在一定區間內函數值小于零恒成立的問題，通過函數的性質進行解題，將原來的二次函數轉化為一次函數的形式，大大降低了解題的難度，增加了解題的技巧性，從而使問題輕松得到解決。

二、分離參數法

在解函數與不等式含參數恒成立的問題時，如果可以將參數與其他的變量分離出來，并且在分離后不等式或函數其中一邊的代數式能夠求其取值范圍或最值時，就可以采用分離參數的方法求解。其一般的類型為：（1）f（x）>a恒成立a< f（x）min；f（a）≤g（x）恒成立f（a）≤ g（x）min；（2）f（x）f（x）max；f（a）≥g（x）恒成立f（a） ≥g（x）max.

例2.已知函數f（x）=lg（x+-2），若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）>0，試確定a的取值范圍。

分析：該題是含有參數的函數式恒成立的問題。那么在解題時就先要看看該題的參數是否能夠從函數式中分離出來。若無法將參數直接分離出來，我們則要根據不同的函數進行分類討論，或是采取其它的方法解題。

解：根據題意得：x+-2>1在x∈[2，+∞）上恒成立，即a> -x2+3x在x∈[2，+∞）上恒成立，設f（x）= -x2+3x，則f（x）= -（x -）2

+，當x=2時，f（x）max=2，所以a>2.

評注：該題將參數從函數式中分離出來，并根據函數圖像性質，求出函數在一定區間內的最大值，得出參數的取值范圍。

對于一些具有特殊性質的函數求參數問題，可以將其轉化為恒成立問題求解，然后借助恒成立的特殊性，進行求解。

例3.函數f（x）=loga（-x2+ log2ax）定義域為（0，），求實數a的取值范圍。

分析：此函數為對數函數，根據對數函數的性質我們會得出一個關于x的不等式，然后再根據該題的已知條件，將該問題轉化為恒成立問題來處理。

解：依題可知，-x2+ log2ax>0在區間（0，）上恒成立 log2ax> x2在區間（0，）上恒成立。又∵x2>0，∴log2ax>0，∴0<2a<1，則有0

評注：對于一些函數的恒成立問題，像是有關于函數的定義域、單調性等，可以通過等價轉化將其轉化為不等式恒成立的問題來處理。該題采用的是間接分離參數的方法，利用對數函數的一些特性，通過解不等式的方法來求解轉化后的恒成立問題，這種解題思想也是高考的考點，是我們課堂教學的重要內容。

三、數形結合法

數形結合法是高中數學最常用的解題方法之一，其通過圖形能夠將函數的基本信息直觀地展示出來。利用圖形進行求解大大簡化了解題的思路與步驟，能夠使解題思路清晰地浮現出來，從而使計算過程得到了有效的簡化，能夠提高學生的解題效率。如果不等式中的函數式對應的圖像能夠容易畫出時，我們就可以通過圖像或圖形的相應位置關系建立不等式求解。

例4.已知函數y=f（x）= 3x+6 x≥2

-6-3x x<-2， 若不等式f（x） ≥2x-m恒成立，則求實數m的取值范圍。

分析：由于該函數為分段函數，且其每一段上都是一次函數，其函數圖像能夠很容易地畫出來，而且含有參數的不等式也為一次函數的形式，因此該題就可以采用數形結合的解題方法。

解：在同一個平面直角坐標系中分別作出函數y=2x-m與y=f（x）的圖像。由于不等式f（x） ≥2x-m恒成立，所以函數y=2x-m的圖像應該總在y=f（x）的圖像的下方，又圖像可知，當x=-2時，y=f（x）取得最小值為0，則能得出y=-4-m≤0，從而可得出m≥-4.所以m的取值范圍為[-4，+∞）.

評注：在解決一些不等式問題時，我們可以根據函數的圖像以及不等式中量的關系，選擇適當的兩個函數，利用函數圖像的上、下位置關系來確定參數的取值范圍。

四、最值法

最值法是解函數以及不等式問題常用的方法之一，其利用函數的性質，以及不等式的數量關系，將含有參數的代數式分離出去，與參數分離法相結合，來進行求解。

例5.已知函數f（x）=x（lnx+m），g（x）= x2+x. （Ⅰ） 當m=-2時，求f（x）的單調區間。（Ⅱ）若m= 時，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求實數a的取值范圍。

分析：（Ⅱ）該題中的兩個函數圖像都難以畫出，因此不能采用數形結合的解題思想。那我們只能先將函數進行整理，從問題出發，聯系已知條件，一步步進行求解。

解：（Ⅱ）當m= 時，不等式g（x）≥f（x），即x2+x≥x恒成立。

由于x>0，∴x2+1≥lnx+，則有a≥.令h（x）= ，則h（x）=，由h（x）=0得出x=1，且當00；當x>1時，h（x）<0，即h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，所以h（x）在x=1處取得極大值h（1）= ，也就是函數h（x）在定義域上的最大值。因此要使a≥恒成立，只需a≥max，即a≥，∴a∈[，+∞）.

評注：該題是將求參數的取值范圍通過轉化，變為求函數的極值問題。在函數或不等式問題中，使用極值或值的取值范圍，一般需要進行分離，從而使問題的解不是靜態常數，有些問題需要將兩種或者兩種以上的解題方法綜合運用，并要根據不同題目的特點選取不同的解題方法，進而得到問題的解。

綜上所述，高中數學的恒成立問題的解題方法多種多樣，像是構造函數法、分離參數法、數形結合法、最值法等，在解該類問題時，不能將解題思路局限在某一個解題方法上，而要根據題目的特點，選取合適的解題策略。為了讓學生能夠快速而準確地找到解題思路，作為高中數學教師，我們在課堂教學時，要培養學生的數學思維，培養他們養成善于觀察、善于總結的好習慣，掌握一定的解題策略與技巧，從而在面對數學問題時，能夠輕松地找到解題思路，并進行求解。

[參考文獻]

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