積的變化規律不應作為“小數乘小數”的算理

李朝品

一、 教材編排

圖1 圖2

蘇教版小學數學五年級上冊第五單元例7“小數乘小數”一課（見圖1）是這樣編排的：首先呈現小明房間和外面陽臺的平面圖，讓學生求出房間的面積（列式3.8×3.2），引出小數乘小數這一新知識，接著利用學生已有的知識經驗估算，初步掌握3.8×3.2的上、下界或近似結果，從而為確認筆算方法的合理性提供支持。在此基礎上依據小數乘整數的經驗再次想到通過轉化把算式中的兩個小數看成整數來計算，然后讓學生自主發現把兩個小數看成整數時乘得的積發生了怎樣的變化，怎樣才能得到原來的積？或者教師直接啟發學生聯系“積的變化規律”想一想，怎樣才能得到原來的積？在此基礎上呈現“乘數和積”變化的示意圖（見圖2）幫助學生認識：把兩個小數都看成整數相當于把它們分別乘10，得到的積自然就是原來的積乘10再乘10，即乘100，因此要得到原來的積應該反過來除以100，從而理解一位小數乘一位小數的計算方法。隨后試一試：求陽臺的面積（3.2×1.15），學生順理成章地根據“積的變化規律”來理解兩位小數乘一位小數的計算方法。最后引導學生比較兩道算式（兩種類型）的計算過程，總結概括出小數乘小數的計算方法，并感悟“轉化”思想。

二、 教后反思

《義務教育數學課程標準（2011年版）》教學建議中指出：“要注重對基礎知識、基本技能的理解和掌握。數學知識的教學應注重對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯。在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。”“小數乘小數”既是數學知識又是基本技能，應該說本節課的編排注重了方法的教學，利用學生已有的知識水平與經驗——小數乘整數的方法、積的變化規律——來理解和認識小數乘小數的計算方法，同時也重視了數學知識之間的密切聯系。但是出現了兩個問題。

1.“小數乘小數”的算理到底是什么

小數乘小數的計算方法是先把它們轉化成整數乘法來計算，再看乘數一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點。那么為什么積的小數位數和所有乘數的小數位數之和一樣呢？這其中的道理是什么？依照教材的意思就是“積的變化規律”，即一位小數乘一位小數就是把兩個一位小數都看成整數（相當于把它們分別乘10），得到的積自然就是原來的積乘10再乘10，即乘100，因此要得到原來的積應該反過來除以100，得到一個兩位小數。其他小數乘小數也是依據“積的變化規律”，但實質上并不是這樣的。華羅庚說：“數（s hù）起源于數（s hǔ），量（l iàng）起源于量（l iáng）。”每個數都是計數單位度量的結果，是計數單位的積累。對于小數乘整數的算理要緊扣數的意義和計數單位，如0.8×3表示求3個0.8的和是多少？因為0.8的計數單位是0.1，它里面有8個0.1，計算0.8×3就是求24（8×3）個0.1的和是多少？即2.4。同樣小數乘小數也是這個道理，如0.8×0.3表示十分之八的十分之三是多少，0.8的計數單位是0.1它里面有8個0.1，0.3的計數單位也是0.1它里面有3個0.1，先算0.1×0.1，由于它表示十分之一的十分之一是多少，0.1×0.1得到一個新的統一的計數單位0.01，0.8×0.3得到24（8×3）個0.01是多少？即0.24。

2.“積的變化規律”其實是一種演繹推理

利用積的變化規律來探索發現小數乘小數的計算方法只能算是一種科學歸納法，只能作為小數乘小數計算方法的演繹推理或驗證方法，顯然不能作為小數乘小數計算方法的算理。另外積的變化規律的確是蘇教版小學數學四年級下冊“三位數乘兩位數”單元中曾經學過的內容，但只是對于一個量不變，另一個量與積的變化規律（兩個數相乘，一個數不變，另一個數乘幾，積就乘幾）進行探索認識并掌握，而對于兩個量都在變的規律并沒有嚴格正規的探索學習（當然也不適合），只是在這一單元“整理復習”中作為實踐活動式而出現，只適合于少數優等生。而此時到了“小數乘小數”便讓全體學生自主發現積的變化規律，并推導出小數乘小數的計算方法，學生哪里來的知識水平和經驗基礎呢？

三、 改進方法

綜上所述，“小數乘小數”這一知識的教學應該借助學生已有的對小數和乘法意義的理解，來引導學生建構小數乘小數的算理和算法，采用數形結合的方法進行探究理解，以便溝通知識之間的聯系，把握知識的本質，凸顯轉化思想，促進算法遷移。

首先，創設求小明房間和外面陽臺的問題情境，在求小明房間的面積列出算式3.8×3.2后，先引導學生估算出3.8×3.2的上、下界或近似結果，為確認筆算方法的合理性提供支持。然后給足時間和空間，放手讓學生自主探索其計算方法。由于學生已有小數乘整數轉化成整數乘法的知識經驗，大多數學生都會將3.8×3.2轉化成38×32計算得出1216，接下來到了“怎樣點小數點，為什么點在這兒？”這一關鍵問題也是難點之處。待學生探究完后進入匯報交流環節。對于認為積是兩位小數的，可能有的認為可以把3.8米化成38分米，3.2米化成32分米，兩數相乘得1216平方分米，再化回去等于12.16平方米。這時教師可以設問：如果沒有單位名稱怎么辦，這樣的方法能適用于所有小數乘小數嗎？學生立刻發現這種方法的局限性。這時就會出現利用積的變化規律來推導，對于這種思考方法首先要肯定它的正確性，但還是要進一步質疑：為什么兩個乘數分別擴大10倍，積就要擴大100倍呢？（還有待于進一步的研究）這樣逼迫學生繼續思考，有的學生可能就會想到用小數的計數單位和乘法的意義來解釋：3.8×3.2其實是38個0.1乘32個0.1相乘，3.8表示38個0.1，3.2表示32個0.1，0.1×0.1表示十分之一的十分之一，也就是百分之一（0.01），那么38個0.1乘32個0.1就是1216（38×32）個0.01即12.16。教師隨即配以直觀示意圖幫助理解加深印象。（如圖3）

當然若沒有學生發現此方法也可以直接啟發引導：大家看一看這兩個小數分別表示什么，能否從乘法的意義上去想想該會是什么道理呢？

同理，在求小明家陽臺的面積，計算3.2×1.15時，由于先前例題的經驗學生自然會想到3.2×1.15看作115個0.01乘32個0.1，0.01×0.1表示百分之一的十分之一，就是千分之一（0.001）。那么115個0.01乘32個0.1就是3680（115×32）個0.001，即3.680。

接下來是歸納總結環節。通過剛才兩道題的計算，你有什么想法？（太復雜、速度太慢）有沒有更快捷的方法嗎？學生自然會去觀察比較兩道題的共同之處，積的小數位數與兩個乘數的小數位數有什么樣的關系，探索小數乘小數的快捷計算方法。經過觀察思考、比較交流后學生發現：兩個小數相乘，乘數一共有幾位小數，積就有幾位小數。那為什么積的小數位數與乘數一共的小數位數一樣呢？因為兩個小數相乘得到一個新的、統一的計數單位，把小數看作整數相乘的積就是新的、統一的計數單位的個數。至此學生不但探索出了小數乘小數的計算方法，而且弄明白了小數乘小數的算理。

【責任編輯：陳國慶】