觸摸數學的肌膚與靈魂

張冬梅

《射線、直線和角》是蘇教版數學四年級上冊第八單元“平行和垂線”第一課時的教學內容，在二年級時，學生已初步認識了線段和角。本課是在此基礎上，認識射線、直線，并再次認識角。閱讀教材，很容易發現這堂課的內容不僅抽象性強，而且知識點多、雜且零散，老師們往往會上得碎而亂，也容易演變成左一題右一題地刷題與“撈分”。但“分數”不能代表一切，到底怎樣才能幫助學生清晰地建立圖形的概念呢？關于圖形的教學，我始終認為關鍵有兩點：一是圖形的特征和關系，包括圖形各要素之間的關系、圖形與圖形之間的關系；二是圖形的價值，圖形在整個學科體系中的價值與地位，以及圖形的生活應用等。這樣一梳理，我圍繞“特征”和“價值”這兩個大問題，從整體上架構全課，讓“特征”與“關系”的教學完美結合，引領學生真實地去觸摸數學的肌膚與靈魂，真切感悟圖形的本質特征。下面就幾個教學片段與大家分享。

教學片段一：“神器”激趣，盡情想象中感悟射線的特征

師：今天老師給大家帶來了一個“神器”（激光測距儀）。瞧，從“神器”這個發射點發出的光線射到了哪兒？

生齊：屏幕上。（屏幕上有光點）

師：其實在發射點與屏幕上的光點之間是有一條光線的，老師想個辦法讓大家看見。（老師噴水霧）

生（驚喜地喊）：看到了，看到了！

師：我們把發射點到屏幕上的光點之間的光線畫下來。（板書：■）這是什么圖形？

生：這是一條線段。

師：能說說線段的特點嗎？

生：線段是直直的，有兩個端點。（師順勢板書：直的、兩個端點）

師：我們既然把這個叫作“神器”，那么一定有它的神奇之處。請兩個同學上來，我們一起來做游戲。

（生1站老師對面，生2站老師身邊）

師：（教師摁“神器”）從發射點到對面同學身上的光點之間的這條線段有多長呢？我們再摁一下“神器”，“神器”就顯示出結果，（對著生2）來讀給大家聽一聽。

生2：2.016米。

師對生1說：你退后幾步。

（再次測量后）生2：3.265米。

師：再大膽地退后。

（再次測量后）生2：5.866米。

師：大家發現隨著他的退后，這條線段越來──

生齊：越來越長。

師：雖然線段越來越長，但我們都能測量它的長度，所以我們說線段是有限長的。（板書：有限長）

師：再往后退。（生1一直退到了墻邊）

生3：7.813米。

師：還能往后退嗎？（生1為難）那這樣，請你把門打開，（師把光線射向門外）現在看到射到哪兒了嗎？

學生幾乎都站起來側身努力地尋找后：看不到。

師：那就讓我們一起閉上眼睛，隨著老師的語言盡情地想象。如果我手中的“神器”有無窮的能量，射出的光線沒有任何物體阻擋，一直射向無窮遠的地方，這是一條什么樣的光線呢？

（學生閉著眼睛盡情地想象）

師：睜開眼睛。我們腦海中的這條光線還能用線段表示嗎？

生：不能，因為線段是有兩個端點的，而這條光線可以直直地射向無窮無盡的地方。

師：那是一條什么樣的線呢？大家在學習單上把它畫下來。

（生獨立畫后相互分享）

生1：這條光線從這個發射點開始，直直地射向找不到頭的地方。

■

生2：這條光線從這個發射點開始，直直地射向無窮遠的地方，連這張紙都裝不下這條光線。

■

……

師：我們聽到了一些關鍵的詞，說這條光線是──

生：直直的，而且還射向無窮遠的地方。

師：大家腦海中的光線都是這樣的嗎？知道嗎？像這樣的光線我們就可以看作射線。（板書上：射線）

師：射線是怎樣的圖形呢？

（屏幕動畫音響同步演示：把線段的一端無限延長就得到了一條射線）

師：來吧，說說射線的特征吧。

……

[思考]對于射線的認識，要引導學生經歷由具體實例抽象出幾何圖形的過程，但是要在現實生活中找到射線相應的實體模型，還真是不易。無論是手電筒光線，還是夜幕中霓虹燈的燈光，如果沒有學生的想象，就很難理解“無限長”這一本質特征。怎么才能更好地幫助學生理解“無限長”的數學意義呢？課堂上，教師通過讓一個學生不斷地后退，改變發出光線的長度，生動地演繹了“線段一端延長”的過程，然后巧妙地“打開門”，讓光線射向無窮遠的地方，于是“線段的一端無限延長”的歷程成功演繹，實現了從有限到無限的突破。學生在教師語言的引導下，想象插上了翅膀：這條光線從這個發射點開始，直直地射向找不到頭的地方；這條光線從這個發射點開始，直直地射向無窮遠的地方，連這張紙都裝不下這條光線……此時此刻，射線的特征已經在學生的腦海中動態呈現，盡管“無限長”是個非常抽象的概念，但在學生的腦海里卻已烙下清晰的表象。這樣的過程，這樣的學習經歷，不僅能幫助學生借助生活中的具體實例理解抽象的數學概念，感受數學抽象的一般過程，也有利于學生體會數學與現實世界的密切聯系，激發學生的學習興趣。

教學片段二：理性思考，科學探索中體會研究方法

師：我們學習線段、射線和直線有什么價值呢？讓我們一起來體會。

■

師：我們通常用大寫的字母表示平面上的點。連接A、B兩點的三條線中，哪一條最短？

生1：中間那條紅色的線最短。因為藍色的那條折來折去的，綠色的那條是彎的，都走了很多彎路。

生2：另外兩條不是直的線，我感覺如果把它們拉直，一定比紅色的線長。

師：嗯，但數學結論的得出不能僅憑“感覺”，我們要用科學的方法去證實。老師事先量出了原圖上這兩條線的長度（出示數據），大家量一量中間那條線的長度吧。

■

生：紅色線長30毫米。

師：通過測量，我們發現哪一條最短？

生：確實是中間這條紅色的線最短。

師：那拿出筆來，在圖上再畫出一條連接A、B兩點、比紅色線更短的線。

（生開始在圖上琢磨，并忍不住小聲議論起來）

師：有什么問題嗎？

生1：畫不出來了，紅色的這條線已經最短了。

生2：再畫一條最短的線，就跟線段AB重合了。

生3：我覺得在連接A、B兩點的線中，這條線段是最短的了！（全班掌聲）

師：體會到線段的價值了嗎？

生：我知道了，如果從A走到B，走線段最近。

師：是的。所以，我們把連接兩點的線段的長度叫作這兩點間的距離。A、B兩點間的距離是多少？

生：30毫米。

師：還記得這節課開始時的“神器”嗎？我們測量出的發射點與遠方光點之間線段的長，其實就是發射點與光點之間的──

生齊：距離。

師：所以，這個“神器”有個大名，叫作激光測距儀。

……

[思考]“兩點間距離”的教學，老師們往往是直接告之，而我改變了教材的呈現方式，從“價值”出發，讓學生經歷研究的過程，懂得得出一個數學結論的科學研究方法，從而培養學生的學科思維方式，并讓學生真切感受數學抽象的精神、數學理性的精神！首先，是對于“哪一條最短”這一問題的處理，以往的教學可能只停留在“觀察”與“感覺”的層面上。一個結論的得出確實可能始于“感覺”，但“感覺”不能成為最終得出結論的依據，“感覺”正確與否需要科學地加以證明。課堂上，教師引導學生去測量、去驗證，正是想讓學生經歷這一“證明”的過程。通過測量，學生得出：在連接A、B的三條線中，確實是線段AB最短。但是老師并沒就此罷手，而是即時提出：再畫出一條連接A、B兩點的更短的線。學生在操作與思考中發現：在所有的連線中，線段最短。顯然，這一結論的得出，無論是學生的認識與體會，還是方法與經驗的積累，都是那么豐厚。正是因為“最短”，我們才把“連接兩點的線段的長度叫作兩點間的距離”，也為以后學習“直線外一點到直線的距離”埋下伏筆。

教學片段三：數形結合，價值體會中凸顯直線的本質特征

師：生活中，我們用眼睛去找一條直線還真不容易。誰能試試看。

生1：直尺的一條邊是直線。

生2：我不同意，這不是直線，雖然是一條直的線，但它是線段，因為它有兩個端點，長度是有限的。

（大家表示贊同生2的說法）

生3：日光燈的燈管，燈亮的時候可以看成一條直線，因為我們可以想象那燈光可以往兩邊無限延長。

師：聽懂了他的意思嗎？他的意思是，燈管本身應該看成一條──

生齊：線段。

師：但通過想象，如果兩端的燈光無限地延長，那么可以把這光線看成──

生齊：直線。

生4：我發現我們看到的表示燈管的這條線段，其實就是我們想象的這條直線上的一部分。（全場掌聲）

師：看來要用眼睛去看到一條直線還真不容易。那直線的價值我們也可以在問題研究中體會。

■

師：我們可以用直線上的點來表示數。“4”應該在哪？

生：在“3”后面的那個點上。

師：10呢？

生：10已經跑到屏幕外面去了，但還在這條直線上。

師：在這條直線上能找到100嗎？1000呢？10000呢？

生連續地、自信地喊著：能！

師：在這條直線上，能找到最大的數嗎？

生：找不到，因為你找到了一個很大的數，但是直線還可以畫下去，那就又有了更大的數，所以找不到最大的數。

生：不能。因為直線是無限長的，所以數也是無限大的，找不到最大的數。

師：說得真好！我們找了0右邊的數，發現0右邊的數都比0──

生：都比0大，而且離0越遠就越大。

師：猜猜在0左邊會是些什么樣的數呢？會有多少個數呢？

生：0左邊一定是比0小的數，應該也有無數個，因為直線是無限長的。

……

[思考]這一內容看似是從讓學生找生活中的直線開始的，其實質是通過實際背景的應用，加深對線段、直線概念的理解和深化，尤其是學生對于“線段是直線上的一部分”的感受，恰到好處，讓它們彼此間“關系”的教學天衣無縫。接著又用數形結合的策略，引領學生感受直線的價值，加深了學生對“直線是無限長”這一本質的深度理解，更是增強了本課的數學思考價值。直線上的每一個點都對應著一個數，學生已經認識了數有無數個，數可以無限大，將數和形完美結合，引導學生用數的無限大來理解直線的無限長，在理解數的基礎上體會直線的存在價值。學生在觸摸數學的肌膚與靈魂、感受數學本質的同時，又把今天所學的新知成功地納入到了原有的認知系統中。學生體會到：看似毫不相關的知識之間竟然也存在如此親密的關系！在認知結構得以進一步完善的同時，學生真實地感受了數學知識本身的親和魅力。

教學片段四：尋根究底，數學史的介入理清圖形間的關系

師：經過一點可以畫多少條直線？

生：無數條，因為稍稍動一下方向就能畫出一條不同的直線。

師：那請大家經過這直線上的一點，再畫一條不同方向的直線。

（學生畫）

師：老師選了幾個有代表性的作品：

■

師：大家仔細看圖，從圖中你還看到了什么？

生：角。

師：是的，為了研究兩條直線的位置關系，人們想到了研究角。大家看：

■

師：關于“角”，我們以前就認識過，請大家自學課本第78頁的例2，看看你又會有哪些新的收獲。

（學生自學后自主介紹角的相關知識）

……

[思考]“從一點引出兩條射線所組成的圖形叫作角”，要想理解教材上這句描述性的語言，對學生來說并不難，學生完全可以通過自學完成學習目標。但是研究“角”的意義呢？“角”與射線、直線之間的關系呢？“角”在整個學科體系中的價值與地位呢？在“平行線和垂線”這個單元中，為何安排角的知識的學習呢？在認識射線、直線這一課中，為什么還要安排學生認識角呢？教材是最重要的活動資源和進行教學活動的主要依據，但教材往往省略了一些概念的誕生細節，而深刻理解教材的編寫意圖，看到教材背后的一些東西，可能正是數學最本質的東西。對于這一系列問題的深入思考，讓我豁然開朗：經過一點的兩條不同直線，有著無數種位置關系；為了表示它們不同的位置關系，人們想到了研究“角”；當其中一個角確定了，兩條直線的位置關系也就確定了。尋找數學史，人類研究“角”的初衷不也正是要研究兩條直線之間的位置關系嗎？于是，從“畫一畫”開始，到數學史的介入，再到最后的自學課本，為學生開辟了一條新的深度學習的路徑，學生既理解了數學的諸多緣由，體會到“角”的價值所在，同時也理清了圖形之間千絲萬縷的關系。

[課后分享]課堂是有生命的，是兒童成長的場所，一堂數學課是兒童生命的一次美妙拔節。那么，面對天真爛漫的兒童和“抽象”“嚴密”的數學，課堂上怎樣才能更好地促進兒童積極生長呢？我一直主張“親和數學親和學”，那怎么在這堂課上讓學生感受到數學本身的親和呢？怎么才能讓學生在“親和學”的過程中感受數學的本質呢？有了對這些問題的思考，也就有了這堂課，讓我對于課堂教學有了一些更深的感受，與大家分享。

（1）智慧有大、小之分。莊子在《齊物篇》里說：“大智閑閑，小智間間。大言炎炎，小言澹澹。” 數學課上，教師可以充分發揮自身的能動性與創造性，理性而深刻地把握教學內容，可以向前追溯這一內容的生活經驗與知識經驗有哪些，向后思索這一內容的數學意義是什么，在學科體系中的地位、價值如何，蘊含了怎樣的數學思想方法，體現了怎樣的數學精神等。只有這樣，教學才能觸及數學的肌膚與靈魂；只有這樣，數學知識才不是一個個孤立的、冷酷的“個體”，兒童才能在這種自然、和諧中感受到數學本身的“親和”。

（2）兒童自有兒童的哲學，教師要有一顆懂得兒童的心，要用熱愛、真誠、細膩去聽出兒童“嘰嘰喳喳”的精彩與美妙。數學是抽象而嚴密的，因此擁有童心的數學教師才能站在兒童的立場，努力地使數學具有兒童特質，教學時注重兒童化的改造，把成人世界里抽象嚴密的數學知識改造成兒童世界里所能理解的對象，對兒童的數學學習進行理性氣質的塑造。

（3）數學不是一種超然的知識與技能的客觀存在，而是人類主體不斷參與的探究結果。數學學習，自然也就不是接受“權威者”的既定知識，而是自主建構的過程。數學課上，兒童作為一個有血有肉、有情有智的完整的人投入數學學習，從而獲得作為人的全面發展，而不僅僅是習得數學的知識與技能。這就提醒我們教師要關注學習自由──思考的自由、表達的自由、操作的自由、精神的自由等。只有擁有了真正的自由，數學學習才會如呼吸一般自然而親和，學生才會在獲得數學知識與數學技能的同時，擁有良好的數學氣質與創造能力，實現充分而自由的成長。

我想，只有這樣的數學課堂才是我主張的“親和”的數學課堂，是師生生命拔節的課堂。