準(zhǔn)確把握學(xué)情 科學(xué)實(shí)施教學(xué)

李國(guó)良

一、問(wèn)題提出的背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)該建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上。了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，正確把握學(xué)生的探究起點(diǎn)，教學(xué)才能真實(shí)有效。教學(xué)前測(cè)正是幫助教師找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)和把握學(xué)情的有效手段。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”是人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，它的知識(shí)基礎(chǔ)是“多位數(shù)乘一位數(shù)筆算乘法”和“口算兩位數(shù)乘兩位數(shù)”。本節(jié)課的主要目標(biāo)是讓學(xué)生理解算理，掌握算法。那么在教學(xué)過(guò)程中，哪些是學(xué)生已經(jīng)理解、掌握了的？哪些又是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)遇到的困難？筆者試圖通過(guò)對(duì)學(xué)生的學(xué)前調(diào)查，找準(zhǔn)教學(xué)的起點(diǎn)和重難點(diǎn)，以期達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。

二、教學(xué)前測(cè)的思考

教學(xué)前測(cè)是指教學(xué)過(guò)程中教師在上課前的一段時(shí)間內(nèi)，通過(guò)不同的調(diào)查方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)知識(shí)儲(chǔ)備和相關(guān)方法的預(yù)先測(cè)試，然后進(jìn)行有針對(duì)性的分析并設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，提出相應(yīng)的課堂教學(xué)策略。

1.前測(cè)內(nèi)容的確定

筆者仔細(xì)翻閱了人教版、北師大版和蘇教版等教材，查看了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”的教學(xué)內(nèi)容。發(fā)現(xiàn)此內(nèi)容前均安排了兩位數(shù)乘整十、整百數(shù)的口算乘法，人教版和北師大版安排了“14×12”作為新課教學(xué)內(nèi)容，并采用點(diǎn)子圖協(xié)助思考與驗(yàn)證，而蘇教版僅安排了“24×12”作為教學(xué)內(nèi)容。根據(jù)對(duì)相關(guān)教材的分析，筆者擬定了以人教版例題為藍(lán)本，提供相應(yīng)的點(diǎn)子圖作為前測(cè)題。要求學(xué)生能用自己熟悉的方法和多種方法進(jìn)行計(jì)算。

2.前測(cè)對(duì)象的選擇

筆者隨機(jī)選取城區(qū)和農(nóng)村中心小學(xué)各一所學(xué)校的三年級(jí)兩個(gè)班級(jí)，共162名學(xué)生（分別是80人和82人），在他們學(xué)習(xí)了“兩位數(shù)乘整十、整百數(shù)口算乘法”后進(jìn)行調(diào)查。

3.前測(cè)目標(biāo)的定位

通過(guò)對(duì)不同學(xué)生的前測(cè)，目標(biāo)有三：一是了解學(xué)生尋求計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法不同的方法，分析每種方法背后的思維水平；二是了解前期的多位數(shù)乘一位數(shù)筆算和口算兩位數(shù)乘法對(duì)本知識(shí)點(diǎn)的遷移與影響；三是了解學(xué)生每種算法是否有正確的算理作為支撐。

4.前測(cè)過(guò)程的規(guī)范

兩所學(xué)校的前測(cè)均由筆者單獨(dú)進(jìn)行，以班級(jí)為單位進(jìn)行檢測(cè)，不提供任何學(xué)習(xí)材料，要求學(xué)生在10分鐘內(nèi)獨(dú)立自主地進(jìn)行，如規(guī)定時(shí)間內(nèi)不能解決，也可以上交。

三、前測(cè)結(jié)果的分析

為準(zhǔn)確、全面了解學(xué)生的前測(cè)情況，筆者從以下兩個(gè)維度進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)與分析。

1.計(jì)算正確性和方法的多樣性統(tǒng)計(jì)與分析

本題設(shè)計(jì)時(shí)就倡導(dǎo)開(kāi)放性、發(fā)散性，鼓勵(lì)學(xué)生采用多種方法進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生答題情況如下表：

由此可以看出，有87%的學(xué)生至少能用一種方法計(jì)算出正確的得數(shù)，顯然，他們對(duì)于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的計(jì)算并非空白。但從統(tǒng)計(jì)表來(lái)看，學(xué)生的思維水平有一定的差異。在同學(xué)的錯(cuò)誤答題中，發(fā)現(xiàn)了這樣的計(jì)算（如下圖），共8人，較有代表性。筆者隨機(jī)采訪了一名同學(xué)，他認(rèn)為：12×14是一道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算，可以借鑒筆算加法，先2×4=8，再10×10=100，最后相加是108。筆者覺(jué)得，筆算加減法的計(jì)算方法對(duì)學(xué)生有較深的影響，造成的原因還是學(xué)生對(duì)加減法的意義與乘法的意義理解不到位。

2.計(jì)算方法有效性的分類(lèi)與分析

前測(cè)過(guò)程中，學(xué)生究竟采用了哪些方法進(jìn)行計(jì)算？這些方法反映了學(xué)生怎樣的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)？有哪些可以作為教學(xué)資源？進(jìn)一步分析后，我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的計(jì)算主要涉及四個(gè)大類(lèi)，十種方法。

一是連加法。它從乘法意義理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生知道12個(gè)14連加的和與14個(gè)12連加的和就是14×12或12×14的計(jì)算結(jié)果。這種方法無(wú)可厚非，但是，對(duì)幫助學(xué)生掌握筆算的方法和理解筆算中每一步所表示的算理作用不大甚至有干擾。

二是分配律法。他們都將其中的一個(gè)因數(shù)拆分成兩個(gè)數(shù)并與另一個(gè)因數(shù)相乘，其中將一個(gè)因數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)居多。顯然，受到多位數(shù)與整十?dāng)?shù)的口算乘法影響，這種方法與豎式計(jì)算有著本質(zhì)的聯(lián)系，因此，這是這節(jié)課的教學(xué)中要重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容之一。筆者還與拆成9和3的這種方法的兩個(gè)學(xué)生進(jìn)行了交流，他們認(rèn)為在乘法的筆算范圍內(nèi)只學(xué)過(guò)最大能乘9的計(jì)算。由此，三年級(jí)上學(xué)期多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)更復(fù)雜的乘法有一定基礎(chǔ)，但在思維上也有所束縛。而把計(jì)算過(guò)程用點(diǎn)子圖來(lái)呈現(xiàn)，幾乎都只有一半的學(xué)生能正確地表示出來(lái)，換句話說(shuō)，這些學(xué)生只會(huì)計(jì)算，不懂每一步為什么這樣計(jì)算，也就是缺乏對(duì)算理的理解。

三是結(jié)合律法。學(xué)生能將其中一個(gè)因數(shù)拆成兩個(gè)一位數(shù)相乘再依次與另一個(gè)因數(shù)相乘，是受到多位數(shù)乘一位數(shù)的啟發(fā)。但是，這種方法有其局限性，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)分別為質(zhì)數(shù)時(shí)就無(wú)法采用這樣的方法來(lái)計(jì)算，當(dāng)然這與筆算乘法也沒(méi)有本質(zhì)的聯(lián)系。因此，這種方法不是課堂上要著重研究和討論的。

四是筆算法。筆者發(fā)現(xiàn)城區(qū)和農(nóng)村學(xué)生分別有32.5%和25.6%的學(xué)生采用了豎式計(jì)算的方法，但只有8個(gè)學(xué)生能用點(diǎn)子圖的方法來(lái)闡述計(jì)算的過(guò)程。再仔細(xì)翻閱他們的前測(cè)卷，發(fā)現(xiàn)這些學(xué)生中，分別只有3個(gè)和1個(gè)學(xué)生用分配律的方法來(lái)進(jìn)行第二種計(jì)算。顯然，前置的預(yù)習(xí)或家長(zhǎng)的指導(dǎo)對(duì)他們的學(xué)習(xí)有一定干擾，只停留在簡(jiǎn)單的模仿與記憶上，沒(méi)有真正理解筆算的本質(zhì)所在。

基于以上調(diào)查與分析，可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生面對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算（不進(jìn)位）乘法時(shí)，大部分能將其轉(zhuǎn)化為已學(xué)的知識(shí)和技能加以解決。因此，筆者認(rèn)為，本堂課的知識(shí)與技能目標(biāo)可以定位在以下兩點(diǎn)：一是重點(diǎn)討論分配律法中，讓學(xué)生通過(guò)尋找其與豎式筆算法的聯(lián)系，理解豎式計(jì)算的算理，學(xué)會(huì)豎式計(jì)算的方法；二是通過(guò)討論，使原來(lái)只知算法不知算理的學(xué)生形成新的、更深層次的認(rèn)識(shí)和理解。

四、前測(cè)后的教學(xué)實(shí)踐

基于對(duì)前測(cè)內(nèi)容的梳理與分析，筆者重點(diǎn)設(shè)計(jì)了如下的環(huán)節(jié)開(kāi)展教學(xué)。

1.呈現(xiàn)多種解題的思路，尋找計(jì)算方法的優(yōu)化

在出示問(wèn)題情境后，先請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)題中包含哪些信息，可以怎么列式。接著請(qǐng)學(xué)生嘗試用多種方法算出結(jié)果，并用點(diǎn)子圖表示這些算法。

獨(dú)立完成后，筆者重點(diǎn)展示了學(xué)生的不同做法，并組織四人小組交流。交流過(guò)程中，學(xué)生主要呈現(xiàn)了以下四種方法并結(jié)合點(diǎn)子圖對(duì)算法做了說(shuō)明：

生1：我們覺(jué)得方法1采用3×14=42，再4×42=168，而且也能用點(diǎn)子圖來(lái)表示，這個(gè)方法是可以的，但是遇到如14×13時(shí)就不能將13拆成兩個(gè)一位數(shù)相乘，所以它的方法有局限性。

生2：我們也認(rèn)為，當(dāng)13×13時(shí)，不能用這樣的拆分法進(jìn)行計(jì)算。

生3：方法2分成9和3還不如方法3來(lái)得簡(jiǎn)單，因?yàn)?4×10=140計(jì)算快速，比14×9的正確率要高；14×12我們還拆成了10×12+4×12=168的計(jì)算方法，在點(diǎn)子圖中都能比較清楚地表示出它的計(jì)算過(guò)程。

生4：方法4采用擺豎式進(jìn)行計(jì)算，我覺(jué)得這個(gè)方法好，它能比較清楚、正確地計(jì)算出結(jié)果，還用點(diǎn)子圖把計(jì)算的過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，所以我比較贊同這個(gè)方法。

通過(guò)討論、質(zhì)疑，學(xué)生不但理解了各種算法的含義，體會(huì)到計(jì)算方法的多樣化，實(shí)現(xiàn)了方法之間的溝通與共享，在辨析的過(guò)程中認(rèn)識(shí)到雖然方法有很多，但是各種計(jì)算方法側(cè)重點(diǎn)不同，在特定情況下還是有優(yōu)劣之分的。

2.溝通口算與筆算的聯(lián)系，明確每步計(jì)算的意義

在上述交流、優(yōu)化后，讓學(xué)生找找：哪些方法之間存在聯(lián)系，存在怎樣的聯(lián)系，并用連一連、畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)等方法表示出這種聯(lián)系。學(xué)生找到聯(lián)系后全班展示、交流，其中比較有代表性的如下圖：

交流過(guò)程中，部分小組意見(jiàn)如下：

小組1：左邊（分步計(jì)算）有28，右邊（豎式計(jì)算）也有28，左邊有140，右邊也有140，結(jié)果都是168。

小組2：左邊的2和10就是右邊豎式里的12，豎式中就是2和10都乘以14。

小組3：左邊有14×2=28，右邊也有14×2=28，左邊有14×10=140，右邊也有14×10=140，左邊28+140=168，右邊也是28+140=168。

師：剛才說(shuō)豎式中也有14×10，可是10在哪里呢？

小組4補(bǔ)充：十位上的1就代表10，所以是14×10。

……

從上述幾個(gè)小組的展示交流中可以看出，學(xué)生對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的算理有了一定的理解，知道了豎式中分別計(jì)算的方法其實(shí)就是筆算方法中每一步的計(jì)算過(guò)程。通過(guò)交流，學(xué)生認(rèn)知水平之間的差距進(jìn)一步縮小，這為理解算理、概括算法奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

隨后，筆者質(zhì)疑：豎式中2×14和10×14分別表示什么，而168又表示什么？

生1：2×14表示2套一共有多少本，10×14表示10套有多少本，168表示2套與10套合起來(lái)一共12套，這樣一共有多少本。

生2：結(jié)合點(diǎn)子圖更能發(fā)現(xiàn)，一個(gè)點(diǎn)子代表一本書(shū)，橫的一行為1套14本，兩行就是2×14，也就是2套書(shū)一共有28本。下面十行每行14本，就是10×14，也就是10套一共有140本，合起來(lái)就是12套一共有168本。

……

通過(guò)上述提問(wèn)、討論，學(xué)生對(duì)每一步所表示的意義更加清楚與理解，在掌握算理的基礎(chǔ)上促進(jìn)了筆算乘法計(jì)算方法的形成與掌握。

3.梳理筆算乘法的脈絡(luò)，提煉豎式計(jì)算的方法

計(jì)算規(guī)則的學(xué)習(xí)，需要在理解算理的基礎(chǔ)上概括出計(jì)算方法，使之成為快速、實(shí)用的方法。為此，筆者出示右邊的一組題目，要求學(xué)生獨(dú)立完成，寫(xiě)出每一步計(jì)算的步驟，并說(shuō)說(shuō)每步計(jì)算所表示的意義。通過(guò)研究過(guò)的三個(gè)題目的類(lèi)比、抽象、概括，幫助學(xué)生從三個(gè)豎式計(jì)算的過(guò)程中總結(jié)出兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的計(jì)算法則。

接著，教師出示右邊一組計(jì)算，讓學(xué)生先說(shuō)說(shuō)這兩題的計(jì)算方法，再讓他們進(jìn)行比較：這兩題在計(jì)算上有什么聯(lián)系與區(qū)別？

生1：我發(fā)現(xiàn)兩位數(shù)乘兩位數(shù)第一步和兩位數(shù)乘一位數(shù)是一樣的。

生2：第二步是在第一步上面繼續(xù)算下去的，這一步以前是沒(méi)有的。

生3：區(qū)別是一個(gè)是兩位數(shù)乘一位數(shù)，一個(gè)是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，它們都有因數(shù)13。

……

通過(guò)比較兩者的異同點(diǎn)，幫助學(xué)生找出兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的關(guān)鍵之處，讓學(xué)生明白今天的學(xué)習(xí)是多位數(shù)乘一位數(shù)筆算乘法的深化。這樣既尋找了它的“根”，也能更好地理解算理、掌握算法，進(jìn)而重新認(rèn)識(shí)算法的意義。

有了上述研究后，筆者出示313×12（如下圖）的豎式，提問(wèn)：你能試著用豎式計(jì)算342×11嗎？想一想與今天學(xué)習(xí)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法有什么聯(lián)系？學(xué)生饒有興趣地馬上計(jì)算出結(jié)果是3756。

生1：其實(shí)這道題的計(jì)算過(guò)程與13×12的計(jì)算過(guò)程是一樣的，只不過(guò)是變成了313×12，也就是第一個(gè)因數(shù)有了百位。

生2：13×12與313×12都可以把12拆成10乘第一個(gè)因數(shù)，再用2乘第一個(gè)因數(shù)，最后把結(jié)果相加，無(wú)非是結(jié)果大了一點(diǎn)，其實(shí)方法是一樣的。

師：同學(xué)們，筆算乘法我們從三年級(jí)上學(xué)期開(kāi)始研究，先學(xué)習(xí)了多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算，今天學(xué)習(xí)筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）。其實(shí)，第三題是四年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，現(xiàn)在你是否覺(jué)得四年級(jí)學(xué)習(xí)的筆算乘法也可以在今天進(jìn)行正確的計(jì)算了呢？

通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，整體梳理并呈現(xiàn)了筆算乘法在教材中的分布與走向，讓學(xué)生不僅回憶了原來(lái)的知識(shí)，還展望了未來(lái)將要學(xué)習(xí)的知識(shí)，但它們的目標(biāo)指向都集中在對(duì)算理的理解和算法的掌握上。這印證了南京大學(xué)教授鄭毓信所說(shuō)的：數(shù)學(xué)知識(shí)不求全，而應(yīng)求聯(lián)；數(shù)學(xué)技能不求全，而應(yīng)求變。

從上述教學(xué)實(shí)踐中，筆者體會(huì)到，教學(xué)前測(cè)不僅可以幫助我們了解學(xué)生基礎(chǔ)，讓我們的教學(xué)設(shè)計(jì)更貼近學(xué)生實(shí)際，更有針對(duì)性，避免閉門(mén)造車(chē)的現(xiàn)象。而且，前測(cè)過(guò)程中學(xué)生呈現(xiàn)的不同做法和暴露出來(lái)的重點(diǎn)問(wèn)題可以作為課堂上研究的素材，這樣我們的課堂教學(xué)就能更“接地氣”，更能夠體現(xiàn)“生本教育”的理念。