對小學第一學段幾何直觀目標要求的認識

張和平

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）把“幾何直觀”增列為核心概念，但是據筆者了解發現，很多小學教師對《標準（2011年版）》第一學段關于幾何直觀的目標要求有些疑惑，即在第一學段的目標中如何明確“幾何直觀”的要求？這確實是不能回避的問題，在此作為一個引子提出來供大家討論。

一、 《標準（2011年版）解讀》和新教材的文本分析

1.《標準（2011年版）解讀》的表述

《標準（2011年版）解讀》[1]指出，在義務教育階段教學和指導學生學習時，認識和理解“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用”這一點是非常重要的。它表明，（從內容上）我們不僅要在幾何內容教學中重視幾何直觀，在整個數學教育中都應該重視幾何直觀，培養幾何直觀能力應該貫穿義務教育數學課程的始終。從學段上講，是指第一、二、三學段中幾何直觀“都發揮重要作用”，甚至高中和大學。

2.小學第一學段新數學教材文本呈現

《標準（2011年版）》在“教材編寫建議”中指出：“對于第一學段的學生，可以采用圖片、游戲、卡通、表格、文字等多種方式，直觀形象、圖文并茂、生動有趣地呈現素材，提高他們的學習興趣。”[2]因此，直觀素材在教材中呈現出多種形式，并且作用也不一樣。例如，在西師版[3]一年級上冊數學“11-20各數的認識”中，通過捆一捆、撥一撥、說一說、寫一寫等活動（圖1）來認識“數位”（即個位和十位）。在69頁的“20以內的進位加法”中，設計蛙跳圖文簡易圖（圖2）讓學生掌握9+8的加法計算。事實上，把問題設計成一個行程問題，第一次蛙跳了9格，第二次蛙跳了8格，學生通過數格子的方式，計算出9+8的得數。

圖2

又如，在西師版一年級下冊數學“100以內的加法和減法（二）”中，通過捆一捆、擺一擺、看一看、寫一寫、議一議等活動，設計實物直觀和豎式算的符號直觀或圖形直觀相結合，了解、認識對位和進位加法，讓學生明白進位加法的算理。

因此，對小學第一學段新數學教材的分析發現，幾何直觀不僅在這一學段出現，而且學生已經可以通過各種形式，借助圖形描述，思考及分析簡單的數學問題，具體涉及數與代數、圖形與幾何、統計與概率和綜合與實踐四大領域內容。

二、 專家、一線小學教師及教研員的觀點

1.數學教育專家的觀點

“幾何直觀”增設為《標準（2011年版）》的核心概念后，很多數學教育專家都在關注并著文探討。孔凡哲、史寧中認為，學生在解決行程問題時用的線路圖，就是一種簡約的、符號化的直觀圖示。[4]秦德生把幾何直觀分為實物直觀演示、圖形直觀操作和圖形直觀表示三種形式。其中，實物直觀演示既可以是實際存在物，如球體、柱體、長方形、梯形、圓等，也可以借助計算機、投影儀等輔助性工具演示，引導學生觀察、操作，感受和探索圖形的特征。圖形直觀操作分動手操作和運動操作，動手操作主要是折紙、展開、折疊、拼擺、密鋪等活動，運動操作包括平移、旋轉、反射等運動[5]。

2.一線教師、教研員的認識和做法

蔡宏圣認為[6]，對幾何直觀中圖形的理解可以寬泛些，而且更為重要的是能夠表征數學關系，有些圖也往往具有數學的模型性。比如，用語言文字表述“一把尺子6元，3把尺子18元”或“一個小組4人，3個小組12人”時，小學生理解比較費勁，而用幾何直觀的圖形語言表示將更清晰（圖3）。這樣的圖示可以用來表示其他具有3倍關系的兩種量，具有數學模型價值，比起符號語言來，有形可視。

華旦玲認為[7]，小學生從低年級就開始學習“解決實際問題”，但是他們的思維水平處于形象思維階段，離不開具體事物的支持。幾何直觀憑借其直觀性特點，在解決問題教學過程中發揮著重要的作用。如在一年級“排隊問題”中，針對同學們排隊的兩類情況：（1）小紅前面有4人，后面有5人；（2）從前面數小紅排在第4個，從后數排在第5個。教師可以引導學生畫如圖4所示的圖形來幫助理解。在圖4中，用兩種顏色圓圈區分了小紅和其他同學，一目了然，而且準確地表達出“幾”和“第幾”的不同。這樣設計，不僅有利于學生掌握知識，而且還讓一年級學生能“感受幾何直觀的作用”。

綜上分析，專家認為小學生可以通過利用簡約直觀符號、直觀圖示（如線路圖）來解決行程問題等。當前的一線教師和教研員不僅認為小學低段課標目標應該對幾何直觀有要求，而且他們正在利用幾何直觀進行教學、解釋比較難理解的算理原理、解決數學問題，讓學生“初步感受幾何直觀的作用”，積極培養小學生的幾何直觀思維能力。

三、 關于第一學段課程目標對幾何直觀要求的分析

對《標準（2011年版）》的分析不難發現，各學段對“幾何直觀”的目標要求是不同的。

《標準（2011年版）》中的總目標對三個學段作了籠統介紹，即對課程的要求是：“建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發展形象思維與抽象思維”。在學段目標闡述中，第一學段在“數學思考”中的目標要求是：“在從物體中抽象出幾何圖形、想象圖形的運動和位置的過程中，發展空間觀念”；第二學段的要求是：“初步形成數感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用”；第三學段是：“經歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀”。

從上述分析發現，總目標的“初步形成幾何直觀”是籠統的，可以理解為整個義務教育中最終（視為第三學段）初步形成的幾何直觀能力。從各學段目標的表述中發現，學段目標對“幾何直觀”的要求是：發展空間觀念（第一學段）——感受幾何直觀的作用（第二學段）——初步建立幾何直觀（第三學段）。《標準（2011年版）》的目標要求這樣安排，很好地體現了課程目標是“義務教育階段的數學課程學習應該達到的目標”要求，符合“逐步提高、螺旋上升”的知識發展規律。但在第一學段是否對“幾何直觀”有要求？是否有必要提出要求？下面就對這些問題做一些探討。

1.在第一學段課標已暗含幾何直觀的要求

在第一學段“數學思考”中的目標要求是：“在從物體中抽象出幾何圖形、想象圖形的運動和位置的過程中，發展空間觀念”。這句話對幾何直觀已經提出要求。一方面，“從物體中抽象出幾何圖形”是幾何直觀思維活動的基礎，沒有“幾何圖形”哪來“利用圖形描述和分析問題”？因此，把物體抽象成幾何圖形，掌握基本的幾何圖形知識是小學第一學段“圖形與幾何”課程學習的目標之一。另一方面，從目標要求中可知，主要是“發展空間觀念”。事實上，空間觀念是幾何直觀發展的基礎，他們共同構成“圖形與幾何”課程的主要目標。劉曉玫認為，“具備良好的空間觀念對發展幾何直觀能力會起到積極的作用。能夠恰當地運用圖形分析描述問題，想象是很重要的，雖然其中還有很多其他影響因素。正是由于這樣的原因，在對空間觀念所反映的一些具體要求的有些表述中，會提到幾何直觀，或數形結合、代數問題的幾何解釋等。”[8]孔凡哲等也認為，“幾何直觀與空間觀念有重疊的成分，諸如，‘根據幾何圖形想象出所描述的實際物體等。……幾何直觀與空間觀念在幾何活動中共同發揮作用。”[4]因此，基于上述分析，第一學段的課程目標對“幾何直觀”已經提出了要求。

2.進一步的討論

從前面的分析中知道，在第一學段課程目標中已經對幾何直觀提出明確的要求。但從教材分析、專家認識和教師教學等可知，在小學第一學段不僅僅是學習掌握幾何圖形知識，而且已經大量出現了“利用圖形描述和分析問題”的案例。針對這些事實，應該有對幾何直觀“初步感受”的要求。

第二學段的課程目標要求是“感受幾何直觀的作用”。關鍵動詞是“感受”。在《標準（2011年版）》中過程目標的行為動詞有“經歷”“體驗”“探索”等，在《標準（2011年版）》的附錄1“有關行為動詞的分類”中解釋“經歷”的同類詞是“感受”“嘗試”。即“感受”等同于《標準（2011年版）》中的行為動詞“經歷”。在《標準（2011年版）》中對“經歷”的解釋是：“在特定的數學活動中，獲得一些感性認識”。從這個解釋中發現，課程目標的“感受幾何直觀的作用”要求是非常低的。在第一學段學生有“先驗的直觀物質基礎”“先天直觀形式”，在課堂上教師已經大量使用“實物直觀”進行教學，學生能夠使用幾何直觀把復雜問題變成直觀形象，利用圖形認識數學、描述和分析問題，利用幾何直觀理解數學等。盡管第一學段的學生幾何直觀思維能力還是低水平的，表現為實物化、可視化、單一化、規則化等特點，但是，學生能夠“初步感受幾何直觀的作用”是沒有問題的，學生有足夠的能力達到這個要求。換句話說，小學第一學段學生通過數學課程學習后能夠達成“感受幾何直觀的作用”的目標要求。

從上述分析中可知，在小學數學課堂教學中我們可以放心地按照教材要求、結合學生的實際需要實施教學，不必擔心小學第一學段數學課標沒有明確對“幾何直觀”提出要求而害怕超綱、束縛我們的課堂教學。

參考文獻

[1] 史寧中.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3] 宋乃慶.義務教育教科書·數學（1-3年級）[M].重慶：西南師范大學出版社，2012.

[4] 孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式——對《義務教育數學課程標準（2011年版）》的一點認識[J].課程·教材·教法，2012（7）.

[5] 秦德生.幾何直觀的內涵、表現形式及教育價值[J].福建教育，2012（12）.

[6] 蔡宏圣.幾何直觀：小學數學教學的視角[J].課程·教材·教法，2012（5）.

[7] 華旦玲.幾何直觀在小學低年段解決問題教學中的應用[J].江蘇教育研究，2014（12A）.

[8] 劉曉玫.再從“幾何直觀”談起[J].小學教學（數學版），2012（7-8）.

【責任編輯：陳國慶】