一次數學選修課的實錄和思考

☉江蘇省海門市四甲中學沈敏鑒

一次數學選修課的實錄和思考

☉江蘇省海門市四甲中學沈敏鑒

數學選修課是對必修課程的一種良好補充，從學科體系來講，數學選修比較適合開設知識拓展類等，主要以提高現有知識為主的教學比較合適.筆者選擇的某次課堂是柯西不等式，基本不等式是高考的必考內容，是不等式中最基本的形態，柯西不等式是對基本不等式的補充，在解決一系列相關問題時不再需要多次基本不等式去實現，因此選修探索內容選擇柯西不等式是比較切合數學教學實際的.

一、教學實錄

1.緣自最近發展區，回顧a2+b2≥2ab的幾何模型

師：這是2002年在北京舉行的國際數學家大會的會標，源自我國古代著名的趙爽弦圖（投影顯示圖1），圖中用四個全等的直角三角形拼成了一個正方形.如果把直角三角形的兩條直角邊邊長分別記為a、b，那么正方形的面積等于多少？

師：所以趙爽弦圖中蘊含了怎樣的不等關系？

圖1

生（集體）：a2+b2≥2ab.

圖5

圖6

師：大家能利用趙爽弦圖說明上述不等式什么時候取等號嗎？

生（集體）：當a=b時，四個三角形的面積和就等于正方形的面積.

師：這兒的a、b是三角形的邊長，所以它們都是正數.但我們知道當a、b∈R時上述不等式均成立.我們是如何證明的？

生1：a2+b2-2ab=（a-b）2≥0.

師：很好，作差法是證明不等式最基礎也是最重要的方法.

2.以小組合作形式，類比探究柯西不等式

師：以上是關于兩個實數的不等式a2+b2≥2ab，趙爽弦圖中用了四個全等的直角三角形，a、b分別是兩條直角邊邊長.今天我們要更進一步，探究關于四個實數的不等式“（a2+b2）（c2+d2）≥？”，借用先賢的智慧，研究四個實數a、b、c、d需要怎樣的三角形？a、b、c、d分別是什么？請大家大膽猜測.

生2：四個直角三角形，兩兩全等.a、b分別是其中兩個全等的直角三角形的直角邊邊長，c、d分別是另兩個全等的直角三角形的直角邊邊長.

師：非常好，讓我們一起沿著這位同學的思路走下去.（教師發給各小組三角形模型，如圖2）

圖2

師：請同學們以小組為單位用這四塊三角形拼成你們認為可以用來解決問題的圖形.

學生代表上黑板展示：

圖4

圖3

師：老師看到有6個小組拼成平行四邊形（如圖3），2個小組拼成長方形（如圖4），這兩種圖形都很棒.趙爽弦圖中我們是從哪個角度思考得到不等式a2+b2≥2ab？

生3：圖形的面積.

師：很好，請各小組按自己的圖形繼續你們的探究，思考其中蘊含的不等式.

教師巡視，給予指導.

學生代表1（平行四邊形）：平行四邊形的面積有兩種算法：①如圖3，把平行四邊形看作由四個直角三角形和中間的長方形拼成，那么S平行四邊形=ab+cd+（c-b）（a-d）=ac+bd.②如圖5，設平行四邊形一內角為θ，則S平行四邊形=b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當sinθ=1時取等號.

師：非常好，這樣我們就得到（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+ bd）2.這兒a，b，c，d取值范圍是什么？

生4：a，b，c，d是三角形的邊長，均為正數.

生5：a2+b2≥2ab在圖形推導中僅對正數成立，但實際對一切實數都成立.這個不等式也可能這樣.

師：那么這個不等式是不是對于任意實數都成立呢？讓我們來進一步求證.

投影顯示：試證明（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）.

學生各自嘗試，絕大多數能獨立完成證明.

師：從證明中我們可以發現取等號的條件為ad=bc，這個推導過程哪個更準確？

生6：ad=bc.

師：這樣我們就得到一個著名的不等式——柯西不等式的最簡呈現方式，即二維形式.

3.從兩個方向出發完成不等式的初步應用

師：下面讓我們走進柯西不等式，請同學們完成下列填空：

（1）（x2+y4）（a4+b2）≥（_______+_______）2；

（2）（x2+y2）（_______+_______）≥（x+yz）2；

（3）（_______+_______）（m2+n2）≥（2mx+3ny）2.

生7：（1）（x2+y4）（a4+b2）≥（xa2+y2b）2；

（2）（x2+y2）（1+z2）≥（x+yz）2；

（3）（4x2+9n2）（m2+n2）≥（2mx+3ny）2.

師：這位同學的回答對嗎？有沒有不同的意見？

生：全對.

生8：（1）（x2+y4）（a4+b2）≥（xb+y2a2）2.

師：這位同學的回答正確嗎？

生：也對.

師：所以我們在應用柯西不等式時要根據需要靈活處理.下面請大家思考下題，證明不等式.

應用1：已知a，b∈R，證明：（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2.

師：哪位同學有思路？

生9：用柯西不等式直接可以證明.

（教師通過投影，引導其加以說明）

師：這道題用作差比較法也能解決，但過程沒有如此簡潔.

4.提煉探究方法提出新的問題

師：柯西不等式是著名數學家柯西發現，并以他命名的.今天同學們通過自己的努力探究也推導出了這個著名的不等式.我們在推導過程中運用了哪些數學思想方法呢？

生10：類比，由a2+b2≥2ab類比.

生11：數形結合，從圖形中得到了不等式.

生12：在一開始決定要哪種三角形時進行了合情推理.

師：同學們總結得很好，你們說的這些是我們探究數學問題時的常用方法.數學王國還有很多未解決的問題，只要我們勇于探索，勤于思考，完全可以有所作為.今天我們推導出的僅是柯西不等式的二維形式，對于它的其他形式，大家有沒有想法？

生13：三維形式，應該和空間向量有關系.

師：很好的想法，三維形式具體是怎樣的？請大家課后思考.

二、教學反思

我們的數學選修課堂有時基于功利性的需要和認識的偏差，存在著去數學化現象.教師為了多講一些題型，讓學生多練習便“掐頭去尾燒中段”，讓我們的學生沒有時間自己去發現問題、探究問題.在這樣的數學課堂不可能培養學生高層次的思維能力，特別是探究能力.本節選修課設計以學生終身發展為目標，意在培養學生學習數學、探究問題的熱情和能力.

1.多給“動起來”的機會，使學生樂于探究

課堂中學生動腦思考探究方法、動手拼圖形、動筆進行運算、動口匯報成果，給學生充分“動起來”的機會，讓學生充分展示自我，激發學生的學習熱情，使他們樂于探究.對于學生拼成的兩種圖形都給予肯定，讓他們有機會沿著自己的道路前進.培養學生個性化學習正是培養學生自主探究學習能力的目標.學生在對問題的探索時表現出較高的積極性.當他們自己推導并證明了二維形式的柯西不等式時，顯得十分興奮，情緒空前高漲.正式上課巡視時發現有一小組的學生用四個直角三角形拼了兩個矩形，這是筆者多次課堂上都沒有遇到的情況.當時認為這個圖形與趙爽弦圖相距較遠，也害怕計劃外的討論會影響教學任務的完成，所以建議學生換個拼圖方法.課后發現如果在圖形外沿描繪一個矩形，這個矩形和圖4中的一樣.把兩張圖結合起來，利用空白部分的面積，可以馬上得到等式sinθ.這種圖形的變換可以作為柯西不等式的另一種幾何詮釋.這是本節課的遺憾之處.

2.進行選修教學評析，使學生善于探究

探究過程中通過提問的方式進行活動評析，確定探究方法、體會思想.探究過程的每一個環節：直角三角形的選擇、用直角三角形拼四邊形、從面積出發建立不等關系、不等式成立范圍的討論等等，幾乎都在與不等式a2+b2≥2ab相類比.令學生對“類比”這一科學探究中的重要思想方法印象深刻，從幾何直觀入手的做法亦能使學生體會數形結合思想在研究不等式中的作用.課堂小結也是對探究活動的評析.總結探究時所運用的思想方法，并讓學生學會提出問題，使他們善于探究.

公式的推導證明及向量形式部分耗時約25分鐘，所以不等式應用環節意在讓學生進一步熟悉柯西不等式，只安排了最基礎的題型，沒有過多地展開，應用部分將在下一課時重點教學.這樣的安排不僅能較好地完成教學目標，使學生體驗到探究的樂趣，還有助于學生形成正確的思維方式，培養他們發現問題、分析問題和解決問題的能力.當然探究能力的培養是長期的教學任務，不可能一蹴而就.這需要我們教師堅持不懈地反思自己的教學，明確怎樣做才能有利于學生探究能力的養成，從而調整教學方法.

1.陳雪松.柯西不等式的教學實踐及反思［J］.數學教學，2009（10）.

2.李廣修.追求非功利化的數學教學［J］.中學數學月刊，2014（2）.G