反向思考，創(chuàng)新思維
——試論列舉反例對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的推進(jìn)作用

☉江蘇省東臺(tái)中學(xué)丁瑞芳

反向思考，創(chuàng)新思維
——試論列舉反例對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的推進(jìn)作用

☉江蘇省東臺(tái)中學(xué)丁瑞芳

所謂反例，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是用來(lái)證明某個(gè)判斷或說(shuō)法不正確、不成立的例子.列舉反例在高中數(shù)學(xué)的知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中并不陌生，且應(yīng)當(dāng)越來(lái)越多地作為數(shù)學(xué)教學(xué)的捷徑出現(xiàn).之所以這樣講，主要出于兩個(gè)方面的考慮：第一，對(duì)于一些比較復(fù)雜的命題來(lái)講，從正向進(jìn)行思考，往往需要一個(gè)漫長(zhǎng)的思維過(guò)程.另外，學(xué)生們?cè)趹T常情況下都是從正向展開(kāi)思考的，長(zhǎng)此以往，思維定式的形成也不利于對(duì)于數(shù)學(xué)命題的判斷.而這個(gè)時(shí)候，只需要提出一個(gè)反例，便可以讓原本復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解，大大縮短了思維過(guò)程.第二，反例的舉出實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對(duì)于知識(shí)內(nèi)容的逆向思維，在打開(kāi)學(xué)生反向思考路徑的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維模式的創(chuàng)新.這對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的強(qiáng)化，均具有積極的推進(jìn)作用.

一、列舉反例，快速判斷命題真假

列舉反例最為直觀的一個(gè)作用就是在最短的時(shí)間內(nèi)判斷出一個(gè)命題的真假.當(dāng)一個(gè)命題擺在學(xué)生眼前時(shí)，學(xué)生們的慣性思維都是從正向?qū)χM(jìn)行思考，沿著命題的呈現(xiàn)順序來(lái)推導(dǎo)、計(jì)算.這樣的方式雖然按部就班，卻十分容易使得思維掉入命題當(dāng)中所預(yù)設(shè)的陷阱里.即使學(xué)生能夠保持自己的獨(dú)立思維，也會(huì)浪費(fèi)大量的推理時(shí)間.而反例的運(yùn)用則可以將這個(gè)情況大大改觀，因?yàn)椋胍穸ㄒ粋€(gè)命題的正確性，只需要一個(gè)反例就夠了.

例如，在學(xué)習(xí)不等關(guān)系的內(nèi)容時(shí)，為了檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)于基本概念的掌握程度，我請(qǐng)學(xué)生們判斷如下命題是否為真命題：若a＜c，b＜c，則ab＜c2.由于這里只需要學(xué)生們判斷出命題的真假即可，如果從正向區(qū)分不同情況進(jìn)行分類(lèi)討論，步步論證，耗費(fèi)的精力未免過(guò)大.稍有不注意，更會(huì)導(dǎo)致論證漏洞的出現(xiàn).于是，我請(qǐng)學(xué)生們?cè)囍鴱姆聪蜻M(jìn)行思考，看看能否找出反例來(lái).果然，馬上有學(xué)生提出，當(dāng)a=-3，b=-2，c=1時(shí)，ab=6＞c2，很輕松地推翻了上述命題，真命題的判斷變得快速有效了很多.

運(yùn)用反例判斷命題真假的方式，在解答判斷題或是選擇題時(shí)適用得十分廣泛.特別是在需要選擇出幾個(gè)選項(xiàng)中的真命題或假命題形式的選擇題中，如果學(xué)生們將每一個(gè)選項(xiàng)中的命題都作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行演算和證明，非但不能保證正向思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，更會(huì)在考試當(dāng)中耗費(fèi)大量時(shí)間，為后題的解答造成壓力.而當(dāng)學(xué)生們轉(zhuǎn)換思路，試著為每一個(gè)命題都去找出一個(gè)反例進(jìn)行判斷排除時(shí)，效率立刻顯著提升了.

二、列舉反例，鞏固強(qiáng)化概念理解

反例的存在是對(duì)細(xì)節(jié)的關(guān)注，而對(duì)細(xì)節(jié)的關(guān)注恰好是在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)概念時(shí)所特別需要的.從平日的概念學(xué)習(xí)中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)概念從表述語(yǔ)言上來(lái)講都是十分精煉的，然而，其中卻蘊(yùn)含著頗為豐富的內(nèi)容，稍有忽略，便會(huì)導(dǎo)致概念含義領(lǐng)會(huì)不全甚至是有所偏差.概念又是整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提和基礎(chǔ)，對(duì)于它的每個(gè)細(xì)節(jié)進(jìn)行到位掌握的重要性無(wú)需多言.那么，如何才能讓數(shù)學(xué)概念當(dāng)中的重要細(xì)節(jié)引起學(xué)生們的注意，并且讓大家對(duì)之進(jìn)行深入理解和充分記憶呢？列舉反例定是一個(gè)不二之選.

例如，橢圓的概念是學(xué)生們理解時(shí)出錯(cuò)頻率很高的內(nèi)容.教材中對(duì)它的概念通常表述為“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡”.剛剛開(kāi)始接觸這個(gè)概念時(shí)，學(xué)生們并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么需要特別注意的地方.于是，我提問(wèn)學(xué)生：“如果到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和恰好等于|F1F2|會(huì)怎樣？小于|F1F2|呢？若符合條件的這些點(diǎn)不在同一平面中又將如何？”學(xué)生們發(fā)現(xiàn)，在上述反例條件之下，都無(wú)法形成橢圓.由此，橢圓概念在理解時(shí)應(yīng)當(dāng)注意的地方也得以明確了.

在高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過(guò)程中，筆者采用反例進(jìn)行規(guī)范化教學(xué)的頻率是相當(dāng)高的，且每一次都能夠收獲理想的教學(xué)效果.在筆者看來(lái)，反例之于概念教學(xué)來(lái)講，就如同是一個(gè)“檢測(cè)儀”，在具體內(nèi)容學(xué)習(xí)完成后，深入每一個(gè)細(xì)節(jié)進(jìn)行二次檢測(cè)，探查學(xué)生是否將每一個(gè)角落的知識(shí)都理解到位了.如果學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解都能夠經(jīng)受住反例的考驗(yàn)，才是真正將其掌握了.

三、列舉反例，準(zhǔn)確掌握定理公式

在高中數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容當(dāng)中，如果將基本概念比喻為一磚一瓦，那么，定理和公式等內(nèi)容就像是支撐起大樓磚瓦的鋼筋水泥.定理和公式正如同一條條線(xiàn)索，串連起了整個(gè)高中數(shù)學(xué)當(dāng)中零散的知識(shí)點(diǎn)，并將其統(tǒng)一提煉成為思想方法性的內(nèi)容，直接應(yīng)用于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答當(dāng)中.因此，學(xué)生能否將數(shù)學(xué)公式與定理掌握準(zhǔn)確，直接關(guān)系到解題的準(zhǔn)確和效率.為了實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于上述內(nèi)容的完整掌握，反例的巧妙運(yùn)用至關(guān)重要.

圖1

例如，在立體幾何中，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)一個(gè)十分重要的定理——線(xiàn)面垂直判定定理.該定理被表述為“一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直”.內(nèi)容看似平常，學(xué)生們卻十分容易忽略了其中的“相交”二字.于是，我在黑板上畫(huà)出了一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖1，并向?qū)W生指出，雖然AB1⊥B1C1且AB1⊥BC，但AB1卻顯然不與平面BB1C1C垂直.這個(gè)反例讓學(xué)生們馬上意識(shí)到了強(qiáng)調(diào)兩條直線(xiàn)相交的重要性，對(duì)于這一定理的理解又深入了一層.

很多學(xué)生都表示，數(shù)學(xué)當(dāng)中的公式和定理，看起來(lái)很簡(jiǎn)單，形式上的規(guī)律性也很強(qiáng)，很方便記憶.可是，每當(dāng)自己認(rèn)為已經(jīng)學(xué)明白了之后，一用起來(lái)仍是錯(cuò)誤百出.這就是定理、公式掌握不全面，只是浮于文字表面的表現(xiàn).之所以會(huì)出現(xiàn)這種情況，主要是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)用深入到內(nèi)容背后，對(duì)它們的適用范圍、關(guān)鍵語(yǔ)詞的確切含義進(jìn)行探究.反例的出現(xiàn)，則可以有效引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)略的文字表面關(guān)注到更多深入的內(nèi)容.

四、列舉反例，明確錯(cuò)誤出現(xiàn)原因

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，教師與學(xué)生對(duì)于反例作用的認(rèn)知大多停留在“找出錯(cuò)誤”的層面上.也就是說(shuō)，在需要判斷某個(gè)命題或是解答過(guò)程是否正確時(shí)，往往會(huì)借助于反例這個(gè)工具.只要成功找出了反例，便能夠證明當(dāng)前的命題不正確了，反例的運(yùn)用也就到此為止了.實(shí)際上，對(duì)于反例的運(yùn)用過(guò)程還可以繼續(xù)延伸，將它的作用從判斷正確與否拓展至明確錯(cuò)誤原因上來(lái).

例如，在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的知識(shí)時(shí)，學(xué)生們遇到過(guò)這樣一道習(xí)題：如圖2所示，ABCD-A1B1C1D1是一個(gè)長(zhǎng)方體，其中，AB=5，AD=4，AA1=3，那么，從點(diǎn)A沿長(zhǎng)方體表面到達(dá)點(diǎn)C1的最短距離是多少？大多數(shù)學(xué)生都選擇了AB+BC+ CC1=5+4+3=12的方法來(lái)解答.這時(shí)我提出，如果從點(diǎn)A沿著AB和BC1到達(dá)點(diǎn)C1，總距離為10，顯然小于12.在這個(gè)反例的啟發(fā)下，學(xué)生們意識(shí)到，此類(lèi)問(wèn)題中的最短距離并非在立體狀態(tài)下所計(jì)算出的結(jié)果.既然從長(zhǎng)方體表面計(jì)算距離，完全可以將長(zhǎng)方體表面展開(kāi)，在展開(kāi)圖中以?xún)牲c(diǎn)之間線(xiàn)段最短的方式加以確定（如圖3）.這樣一來(lái)，類(lèi)似的立方體表面最短距離計(jì)算問(wèn)題都得到了解決.

圖2

圖3

要想把高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)到位、學(xué)透徹，不僅要讓學(xué)生知道自己做錯(cuò)了，更應(yīng)當(dāng)知道錯(cuò)在哪兒，為什么會(huì)出錯(cuò).只有這樣，才能夠?qū)W(xué)習(xí)當(dāng)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化為助推學(xué)習(xí)的有效資源，讓學(xué)生在錯(cuò)誤中成長(zhǎng).當(dāng)我們每提出一個(gè)反例時(shí)，都應(yīng)當(dāng)再多想一步，看看這個(gè)反例出現(xiàn)的內(nèi)容基礎(chǔ)是什么，它的存在是基于哪個(gè)方面的知識(shí)缺失.這樣的學(xué)習(xí)才是最確切、最有效的.

五、列舉反例，提高數(shù)學(xué)解題效率

當(dāng)教師將反例的思想逐步滲透給學(xué)生之后，學(xué)生們便會(huì)漸漸發(fā)現(xiàn)，反例的應(yīng)用范圍不僅僅局限于簡(jiǎn)單的正誤判斷之中.以反例為切入點(diǎn)，在學(xué)生頭腦中建立起反向思考的思維模式之后，可以為具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答提供全新的途徑.反例的思路運(yùn)用得當(dāng)，可以大大提高解題效率.

例如，在學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)內(nèi)容后，我請(qǐng)學(xué)生們?cè)囍袛嗪瘮?shù)f（x）=x2+|x-a|+1（a≠0）的奇偶性，這個(gè)問(wèn)題讓很多學(xué)生感到難以入手.的確，若是從正向進(jìn)行分析證明，需要考慮的因素太多了，對(duì)于剛剛開(kāi)始深入接觸函數(shù)知識(shí)的學(xué)生們來(lái)講難度不小.然而，當(dāng)x取得特殊值a時(shí)，原函數(shù)既不滿(mǎn)足奇函數(shù)的特征，也不滿(mǎn)足偶函數(shù)的特征，這個(gè)反例充分表明，函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù).與常規(guī)思維方式相比，這樣的效率明顯高出了不少.

從上述敘述當(dāng)中可以看出，在很多復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程當(dāng)中，如果能夠恰如其分地以反向思維進(jìn)行思考，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多新的角度，或是快捷的分析路徑.這對(duì)提高數(shù)學(xué)解題的準(zhǔn)確率和速度上來(lái)講都是很有幫助的.

六、列舉反例，訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)密思維

反例對(duì)于高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)來(lái)講，就像是一個(gè)探測(cè)器和度量者，檢驗(yàn)著學(xué)生們對(duì)于每一個(gè)知識(shí)內(nèi)容的掌握效果.這也為學(xué)生們的學(xué)習(xí)思維與方法提出了要求.想要讓自己對(duì)于知識(shí)的學(xué)習(xí)都能夠經(jīng)得住反例的考驗(yàn)，就必須提升學(xué)生思維的嚴(yán)密性，這也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所必需的品質(zhì).

例如，在對(duì)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，我提問(wèn)學(xué)生：“‘函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，x∈（a，b），f′（x）＞0’是否為‘f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是增函數(shù)’的充要條件？”學(xué)生們想到，教材中剛剛談到“設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，若x∈（a，b），f′（x）＞0，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是增函數(shù)”，便順理成章地認(rèn)為充要條件的判斷是正確的.我及時(shí)舉出反例f（x）=x3，馬上推翻了上述判斷.這也讓學(xué)生們意識(shí)到，教材當(dāng)中所表述的邏輯關(guān)系并非充要條件的含義，在對(duì)之進(jìn)行閱讀理解時(shí)，思維必須足夠嚴(yán)密，否則會(huì)導(dǎo)致很多概念性錯(cuò)誤的出現(xiàn).

反例的適當(dāng)列舉，既是對(duì)學(xué)生嚴(yán)密思維的呼喚，也是學(xué)生提升思維嚴(yán)密性的準(zhǔn)確方向.在很多時(shí)候，反例能夠成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的啟發(fā).在反例的有效引導(dǎo)下，學(xué)生準(zhǔn)確找到了當(dāng)前所學(xué)知識(shí)當(dāng)中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的部分，并能夠就此有意識(shí)地突出學(xué)習(xí)重點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)習(xí)實(shí)效.

通過(guò)上述論述不難發(fā)現(xiàn)，列舉反例在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)都能夠發(fā)揮出不同的推動(dòng)作用.從知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)講，反例的及時(shí)出現(xiàn)，讓整個(gè)思維過(guò)程更加嚴(yán)謹(jǐn)了，反例本身也彌補(bǔ)了學(xué)生們?cè)谛纬芍R(shí)體系時(shí)的漏洞，讓大家將知識(shí)學(xué)習(xí)得更完整，更準(zhǔn)確.從問(wèn)題解答過(guò)程來(lái)講，特別是在解答選擇題、判斷題等類(lèi)型的題目時(shí)，列舉反例的方式往往能夠有效簡(jiǎn)化思考過(guò)程，在最短的時(shí)間內(nèi)得出命題正確與否的結(jié)論，顯著提升解題效率.新的課程標(biāo)準(zhǔn)呼喚新的教學(xué)方式，反例的巧妙融入一定能夠不斷創(chuàng)新學(xué)生思維，從新的角度將高中數(shù)學(xué)教學(xué)推上一個(gè)新高度.G