妙用“類比”激發創新

☉湖北省武漢市第十二中學余智敏☉湖北省武漢市鋼城第十四中學何春玲

妙用“類比”激發創新

☉湖北省武漢市第十二中學余智敏☉湖北省武漢市鋼城第十四中學何春玲

牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現.”說明合情推理這種思維方式何其重要！類比就是研究兩個對象在某些方面相同或相似的一種思維方式，我們平常碰到的具有探究價值的問題，若能合理聯想，將問題一般化、類比、拓展等，則會有新的發現，這就是“再創造”.若能持之以恒，必能激發我們學習數學的興趣，提升我們的數學素質和探究能力.

本文列舉若干用“類比”解題的例子，期望起到拋磚引玉的作用.

圖1

證明：如圖1，延長AO交BC于點D，以AD為對角線作平行四邊形AEDF，則A—→D=A—→E+A—→F，而由平行線分線段成比例定

類比1：設O是△ABC內部的一點，且有O—→A+2O—→B+ 3O—→C=0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比為（）.

解析：類比1與問題1完全一樣，類比可得，S△BOC∶S△COA∶S△AOB=1∶2∶3，所以S△ABC∶S△AOC=（1+2+3）∶2=6∶2=3.

問題2：求過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的弦AB的最小值.

解析：如圖2，設弦AB的中點為E，分別過點A、E、B作準線的垂線，垂足分別為D、H、C，由拋物線的定義知，|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，所以|AB|=|AF|+ |BF|=|AD|+|BC|=2|EH|，由圖容易知道|EH|≥|GF|，當且僅當AB與x軸垂直時，|EH|=|GF|，即|AB|min=2|GF|=2p（此時AB為通徑）.

圖2

解析：類比問題2的解法，可得|AB|=|AF|+|BF|=e|AD|+ e|BC|=2e|EH|，而|EH|≥|GF|，所以當且僅當AB與x軸垂直時，|EH|=|GF|，即|AB|min=2e|GF|=2·

圖3

結論2：圓錐曲線通徑的長度是焦點弦長度的最小值，相應于拋物線、橢圓、雙曲線分別曲線是過焦點與對應的雙曲線一支相交的焦點弦）.

解析：由對稱性設直線l的方程為y=k（x-c），其中k=

22222

結論3：同一類型的問題有其共同的本質屬性和規律，通過類比，揭示出共性，對培養我們思維的廣闊性及提高能力大有幫助.實際上，我們可以繼續向縱深發散思維，如問題3中的“焦點F”改為“實軸頂點E”；類比4中的“準線與x軸的交點是H”改為“長軸頂點E”等，你又會探索出θ與e有怎樣的最簡關系式呢？不妨嘗試一下.

問題4：求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題.例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3，求該正四棱錐的體積”.求，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體側棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積所有側面面積之和的最小值”.

試給出問題“在平面直角坐標系xOy中，求點P（2，1）到直線3x+4y=0的距離.”的一個有意義的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題.

分析：解答本題的關鍵是提出問題，理解問題中的條件和結論，條件是一個點P（2，1）、一條直線3x+4y=0、一個關系點P（2，1）與直線3x+4y=0之間的距離；結論只有一個點P（2，1）到直線3x+4y=0的距離是2，從而以關系為橋梁，將點P（2，1）與直線3x+4y=0分別與結論組成條件，提出有意義的“逆向”問題.

類比5：在平面直角坐標系xOy中，求到直線3x+4y=0的距離是2的點的軌跡.

結論4：問題4的提出要求我們對創新定義必須認真閱讀，正確理解，如對問題4的“結論作為條件之一”、“與原來問題有關的新問題”、“有意義的‘逆向’問題”等的含義要深刻理解，理解得越深刻，提出的問題越好，思維層次越高，否則，“有意義”的思維層次就差，甚至“沒有意義”；另一方面，問題4更重要的意義還在于要求考生“反思學習過程”，就是當求出一個數學問題的正確結論后，要經?；仡?、提煉與總結，這是克服“題海戰術”的一個重要途徑.F