莫讓浮云遮望眼，撩開霧紗見真顏
——一道解析幾何模擬試題的深度探尋

☉浙江省杭州師范大學附屬中學蘇立標

莫讓浮云遮望眼，撩開霧紗見真顏
——一道解析幾何模擬試題的深度探尋

☉浙江省杭州師范大學附屬中學蘇立標

一、問題的呈現

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點A作AP//OM交橢圓C于點P，求證：BP//ON.

圖1

（Ⅱ）證法1：如圖2所示，由題意可設直線OM，ON的方程為y=kOMx，y=kONx.

圖2

【點評】本試題雖然是一道模擬試題，但題目立意之新、內涵之廣、選材之妙不得不令人嘆服.以新穎的視角、創新的手法進行精心地構思，彰顯新課程的理念，所以是一道創新而不落俗套的好試題，有利于甄別學生的思維層次，具有較好的區分度.這個問題反1（a＞b＞0）一組性質，不僅設計獨特新穎，而且具有推廣與引申的價值，可以演變出一組妙趣橫生的結論.（本文中的字母e均為離心率）

二、問題的逆向探究

“探幽重門深鎖無尋處，疑有碧桃千樹花.”對于一個數學問題，需要多角度的剖析、探究.對于一個數學問題的探究思考，最基本的切入點就是對條件與結論進行變式思考，可以考慮逆命題是否成立.

圖3

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若橢圓C上的點P滿足：AP//OM，且BP//ON，

三、問題的一般化探究

為了能把問題看得更清楚些，我們往往考慮把問題進行一般化情形研究，容易得到下列結論：

P，求證：BP//ON.

【分析】由于kPAkPB=e2-

1，所以只需要證明kOMkON=e2-1.

圖4

四、問題的本原探究

1.蘇立標.博觀而約取，厚積而薄發——以e2-1為定值的圓錐曲線高考試題賞析［J］.中學數學（上），2013（3）.G