一類具多比例時滯遞歸神經網絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性?

趙 寧,周立群

(天津師范大學數(shù)學科學學院，天津 300387)

1 引言

近些年來，時滯遞歸神經網絡在信號處理、聯(lián)想記憶、優(yōu)化與控制、人工智能等諸多領域都有著重要的應用．在這些應用中，一般都要求網絡的平衡點是穩(wěn)定的，因此，時滯遞歸神經網絡的各種穩(wěn)定性得到了廣泛的研究[1-5]．文獻[1,2]分別利用壓縮映射原理、Banach空間和基于重合度基礎的連續(xù)性定理，研究了具時變時滯的細胞神經網絡的完全穩(wěn)定性和全局指數(shù)穩(wěn)定性．文獻[3,4]通過Lyapunov-K rasovskii函數(shù)法、Young不等式和線性矩陣不等式法(LIM)，研究了具分布時滯與可變時滯的遞歸神經網絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性與全局漸進穩(wěn)定性．文獻[5]在沒有假定激勵函數(shù)有界可微的情況下，得到了一類時滯神經網絡平衡點的存在唯一且全局指數(shù)穩(wěn)定的充分判據．

比例時滯是一種客觀存在的無界時變時滯，具比例時滯的遞歸神經網絡作為一種重要的數(shù)學模型，在物理、生理、生物學、電子與計算機科學等領域發(fā)揮著重要的作用．但是過去對該網絡的研究相對較少[6-13]，文獻[6]運用內積性質和矩陣理論得到了一類具比例時滯細胞神經網絡全局散逸性的判定依據．文獻[7,8]通過運用非線性測度方法以及Lyapunov函數(shù)法研究了一類具多比例時滯細胞神經網絡的指數(shù)穩(wěn)定性．文獻[9,10]通過應用矩陣譜半徑理論與Barbalat引理和構造合適的Lyapunov泛函，獲得了具比例時滯遞歸神經網絡的全局漸近穩(wěn)定性的新判據．文獻[11]通過Brouwer不動點定理和不等式技巧構造了擬Halanay型不等式系統(tǒng)，獲得了保證具比例時滯雙向聯(lián)想記憶神經網絡全局指數(shù)穩(wěn)定性時滯獨立的充分條件．文獻[12,13]分別通過矩陣范數(shù)性質與構造合適的Lyapunov泛函，研究具比例時滯神經網絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性問題．受文獻[5]研究方法的啟發(fā)，本文對一類具多比例時滯的遞歸神經網絡的全局指數(shù)穩(wěn)定性進行研究．本文不是通過構造合適的Lyapunov泛函，而是通過應用M-矩陣的性質和時滯微分不等式技巧，得到了保證一類具多比例時滯的遞歸神經網絡平衡點的存在唯一且全局指數(shù)穩(wěn)定的時滯無關的充分條件，該條件驗證簡單，便于應用．

2 數(shù)學模型及預備知識

本文的符號說明如下：

|x|表示向量x的絕對值，表示向量x的范數(shù)，表示矩陣A的絕對值，表示矩陣A的范數(shù)，其中λmax(ATA)表示ATA的最大特征值，C([min{p,q},1],R)表示從[min{p,q},1]到R上的所有連續(xù)函數(shù)的全體，C([?r,0],R)表示從[?r,0]到R上的所有連續(xù)函數(shù)的全體．

本文研究如下一類具多比例時滯的遞歸神經網絡

其中ui(t)表示第i個神經元在t時刻的狀態(tài)變量，i=1,2,···,n，n表示網絡中神經元的個數(shù)；di表示在與神經網絡不連通且無外部附加電壓差的情況下，第i個神經元恢復獨立靜息狀態(tài)的速率函數(shù)；A=(aij)n×n,B=(bij)n×n和C=(cij)n×n是神經網絡的連接權值矩陣；fj,gj,hj表示神經元的激勵函數(shù)；pj,qj是比例時滯因子，且滿足

其中(1?pj)t和(1?qj)t是信號傳輸時滯函數(shù)，當t→+∞時，有(1?pj)t→+∞和(1?qj)t→ +∞，因此，式(1)的時滯項是無界時滯函數(shù)；I=(I1,I2,···,In)T是輸入常向量；ui(s)=φi(s),s∈[min{p,q},1]表示系統(tǒng)(1)的初始狀態(tài)函數(shù)，

作變換

由式(1)知，變換應滿足et≥1，此時t≥0，易知

由式(2)可知

這里

將式(2),(4)和(5)代入式(1)得

將式(6)代入式(3)得

綜上所述，系統(tǒng)(1)可等價變換為如下變系數(shù)常時滯的遞歸神經網絡(詳見文獻[8])

其中

并且令x(t)=(x1(t),x2(t),···,xn(t))T∈Rn表示神經元的狀態(tài)向量，Rn表示n維歐幾里得空間，ψ(s)=(ψ1(s),ψ2(s),···,ψn(s))T, ψi(s)= φi(es),i=1,2,···,n, ψi(s)∈C([?r,0],R)．

注1 易證系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(7)具有相同的平衡點，所以只要能夠證明系統(tǒng)(7)平衡點的存在性、唯一性與全局指數(shù)穩(wěn)定性，即證明了系統(tǒng)(1)的平衡點的存在性、唯一性與全局指數(shù)穩(wěn)定性．

假定di和函數(shù)fj,gj,hj分別滿足以下條件：

(H1):di在R上連續(xù)，且對任意的u,v，滿足

(H2): 對于任意j∈{1,2,···,n},fj,gj,hj:R →R是全局Lipschitz函數(shù)，即存在Lipschitz常數(shù)Lj,mj,Nj>0，使得對任意的u,v，滿足

記

定義1[5]X和Y是拓撲空間，映射f:X→Y稱為同胚映射，若f具有下列性質：

1) f是雙射； 2) f是連續(xù)的； 3) 反函數(shù)f?1也是連續(xù)的．

定義2[5]實矩陣A=(aij)n×n若滿足條件：當i=j時，aij>0；當i?=j時，aij≤0,i,j=1,2,···,n，且所有主子式都是正的，則稱矩陣A是M-矩陣．

定義3[12]系統(tǒng)(7)的平衡點x?是全局指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在常數(shù)λ>0和m≥1，使得

其中

引理1[5]對于A∈Rn×n，如下各條件是等價的：

1)A為M-矩陣；

2) A的所有特征根的實部是正的；

3) A是可逆的，且A?1≥0，表示A?1為非負矩陣；

4) 存在一個向量β>0，使得Aβ>0；

5) 存在正定對角矩陣Q，使得QA+ATQ是正定的．

引理2[5]如果函數(shù)F(x)是連續(xù)的，且滿足以下條件，則函數(shù)F(x)是Rn上的同胚映射：

1) F(x)是Rn上的單射； 2)

引理3(Cauchy-Schwartz不等式) 已知ai,bi,i=1,2,···,n為實數(shù)，有

等式成立的充分必要條件是ai=λbi,i=1,2,···,n，其中λ為常數(shù)．

3 主要結果

首先證明系統(tǒng)(7)的平衡點的存在唯一性．

設是系統(tǒng)(7)的平衡點，則有

根據式(8)設非線性映射為

其中

g(x),h(x)同理，即F(x)=0的解是系統(tǒng)(7)的平衡點．

如果可以證明映射F(x)為Rn上的一個同胚，根據定義1可知，F(xiàn)(x)是一個滿射，即一定存在一個點；同時F(x)又是一個單射，說明只存在唯一的點x?，滿足F(x?)=0，由此就可以證明系統(tǒng)(7)平衡點的存在性與唯一性．

定理1 如果(H1)和(H2)成立，且D?|A|L?|B|M?|C|N是M-矩陣，則系統(tǒng)(7)存在唯一的平衡點．

證明 由(H1)和(H2)可知F(x)在Rn上是連續(xù)的，下面將根據引理2，分兩步證明F(x)是一個同胚映射．

1) 證明F(x)是Rn上的單射．

利用反證法，假設存在x,y∈Rn,x?=y，使得F(x)=F(y)，根據(H1),(H2)和式(9)，有

由于F(x)=F(y)，則|F(x)?F(y)|=0，若上式成立，必有

因為D?|A|L?|B|M?|C|N是一個M-矩陣，根據引理1知

則有

又因為x?=y，所以|x?y|>0，與上式矛盾．

因此，不存在x,y∈Rn,x?=y，使得F(x)=F(y)，即映射F(x)是Rn上的單射．

因為D?|A|L?|B|M?|C|N是M-矩陣，根據引理1知一定存在一個正定對角矩陣Q=diag(Q1,Q2,···,Qn)，使得

由于非正定矩陣的轉置也是非正定的，兩者的和非正定，所以

由上式可知，必存在一個充分小的正數(shù)ε，使得

其中En為單位矩陣．

由引理3可得

綜上，根據引理2可知，對于任意的x，映射F(x)是Rn上的一個同胚，因此系統(tǒng)(7)存在唯一的平衡點．

定理2 如果(H1)和(H2)成立，且D?|A|L?|B|M?|C|N是M-矩陣，則系統(tǒng)(7)存在唯一的平衡點，該平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的．

證明 由定理1知系統(tǒng)(7)存在唯一的平衡點x?．令y(t)=x(t)?x?，可將系統(tǒng)(7)改寫為

其中

且仍然滿足(H1)和(H2)．

根據系統(tǒng)(7)的初始狀態(tài)xi(s)=ψi(s)可知系統(tǒng)(11)的初始狀態(tài)為

由于D?|A|L?|B|M?|C|N是一個M-矩陣，根據引理1可知，存在一個向量β=(β1,β2,···,βn)T>0，使得(D ? |A|L ? |B|m? |C|N)β >0，即存在βi>0,i=1,2,···,n，使得

構造函數(shù)

易知

因為Si(μ)關于μ在[0,+∞)上連續(xù)，且當μ→ +∞時，Si(μ)→ +∞．因此存在常數(shù)?μ∈(0,+∞)，使得

得到

這里我們斷言

如果式(15)不成立，由式(14)的不等式關系知存在t1>0和某個i，使得

其中?r≤ t≤ t1,j=1,2,···,n．

另一方面將式(16)帶入式(13)，利用式(12)可以得到

式(17)與式(16)矛盾，所以對t≥0，有zi(t)<βil0,i=1,2,···,n．因此可以得到

所以

當δ→ 0+,βi= βj,i,j=1,2,···,n時，m→ 1，則有

根據定義3可知系統(tǒng)(7)的平衡點x?是全局指數(shù)穩(wěn)定的，從而系統(tǒng)(1)的平衡點也是全局指數(shù)穩(wěn)定的．

注2 本文所得的定理2與文獻[5]中的定理2是相似的，但本文研究的模型與文獻[5]的模型不同，本文是針對一類具多比例時滯遞歸神經網絡，而文獻[5]研究的是包含分布時滯和可變時滯的神經網絡，其結論不能直接應用于多比例時滯遞歸神經網絡．

注3 在系統(tǒng)(1)中，如果pj=qj=1,j=1,2,···,n，系統(tǒng)(1)就是無時滯的遞歸神經網絡，本文所得結論也適用于無時滯的遞歸神經網絡．

注4 在實踐中，根據神經網絡的拓撲結構及制作材料的不同，在神經網絡中引進比例時滯是合理的．已知比例時滯因子q的大小與神經網絡所能允許的最大時滯，就可以方便的控制網絡的運行時間．

4 數(shù)值算例及仿真

例1 考慮如下神經網絡模型

其中d1(u1)=4u1,d2(u2)=3u2，激勵函數(shù)取為

顯然di(ui),i=1,2滿足(H1)且D1=4,D2=3；fi,gi,hi,i=1,2是Lipschitz連續(xù)的滿足(H2)，且Lipschitz常數(shù)為

經計算可得

由定義2可知D?|A|L?|B|M?|C|N為M-矩陣，根據定理2可判斷該神經網絡存在唯一的平衡點，是(0,0)T，且平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的，見仿真圖1．

圖1: 系統(tǒng)(18)平衡點的全局指數(shù)穩(wěn)定性

容易驗證若

則有

因為

所以若式(19)成立，必有σ<1，顯然不滿足文獻[13]中的定理2.1與推論2.1，于是文獻[13]中的判定標準對于系統(tǒng)(18)是不適用的，無法判斷其是否具有全局指數(shù)穩(wěn)定性，從而說明本文所得的判定標準具有較低保守性．

5 結論

本文利用M-矩陣的性質結合拓撲學同胚映射的相關知識，應用時滯微分不等式技巧通過求右導數(shù)建立了不等式系統(tǒng)，克服了Lyapunov方法中構建合適的Lyapunov函數(shù)的困難，最終得到了一類具多比例時滯遞歸神經網絡平衡點的存在性、唯一性與全局指數(shù)穩(wěn)定性時滯無關的充分判據．同時這種方法還可以用于研究其他類型遞歸神經網絡的平衡點的全局指數(shù)穩(wěn)定性．

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