不連續系數重倒向隨機微分方程(BDSDE)解的存在性

徐麗平，李治

(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

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不連續系數重倒向隨機微分方程(BDSDE)解的存在性

徐麗平，李治

(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

[摘要]在不連續條件下對重倒向隨機微分方程解的存在性進行了研究。在僅僅方程的系數滿足線性增長和連續性條件下建立了新的比較定理，構造了一個單調有界的解序列，從而在弱的假設下建立此對類方程了解的存在性定理。該研究結果一般化和改進了一些已有結果。

[關鍵詞]重倒向隨機微分方程(BDSDE)；不連續系數；比較定理；存在性

1994年，為給出一類半線性隨機偏微分方程解的概率表征，Pardoux和Peng[1]引入一類重倒向隨機微分方程(BDSDE)，并在Lipschitz條件下建立了解的存在唯一性。這類方程既包含標準(向前)的隨機積分，又包含向后的隨機積分。自此以后，相關學者對與隨機偏微分方程相關的重倒向隨機微分理論展開了研究[2～5]。

在許多實際應用中，Lipschitz條件下往往無法滿足，為此許多學者嘗試減弱關于系數的Lipschitz條件：Shi，Gu和Liu[6]減弱到線性增長條件給出了一個解的存在性定理；Lin[7～9]及Modeste和Owo[10]研究了一類不連續系數的重倒向隨機微分方程。下面，筆者也考慮如下一維的重倒向隨機微分方程：

(1)

式中，dW是向前的Ito積分；dB是向后的Ito積分。受文獻[8～10]的驅動，筆者在不連續條件下對重倒向隨機微分方程(1)解的存在性進行了探討。

1預備知識

令(Ω，F，P)是一個完備的概率空間，T>0是給定的終端時間。假設{Wt}0≤t≤T和{Bt}0≤t≤T是2個分別取值于Rd和Rl相互獨立的定義在(Ω，F，P)的標準布朗運動。對每一個t∈[0,T]，定義：

(C1) L2(Ω，FT，P)={ξ:{FT}-可測隨機變量；E[|ξ|2]<∞}；

記f:Ω×[0,T]×R×Rd→R,g:Ω×[0,T]×R×Rd→Rl是可測的隨機過程，ξ是R-值FT可測的隨機變量，相關假設如下：

(H1)g(·,0,0)∈M2(0,T;Rd),存在常數C>0及0<α<1使得對所有的(t,yi,zi)∈[0,T]×R×Rd,i=1,2,滿足：

|g(t,y1,z1)-g(t,y2,z2)|2≤C|y1-y2|2+α|z1-z2|2

(H2)對每一個t∈[0,T],(y,z)∈R×Rd,f(t,·,z)左連續，f(t,y,·)連續。

(H3)存在非負連續函數h:R×Rd→R,對任意的(y,z)∈R×Rd滿足|h(y,z)|≤C(1+|y|+|z|),h(0,0)=0且對所有的y1≥y2,t∈[0,T]及z1,z2∈Rd有：

f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)≥-h(y1-y2,z1-z2)

(H3′)存在常數C>0,使得對所有的(t,yi,z)∈[0,T]×R×Rd,i=1,2及y1≥y2,有f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)≥-C(y1-y2),此外，f(t,y,·)是Lipschitz連續的。

(H4′)存在非負過程G∈M2(0,T;R)及常數C>0,對任意的(t,y,z)∈[0,T]×R×Rd使得：

|f(t,y,z)|≤Gt(ω)+C|y|+C|z|

(H5)對任意的t∈[0,T],f(t,·,·)連續。

(H6)f(·,0,0)∈M2(0,T;R)。

(H7)( Lipschitz條件)存在常數C>0，使得對所有的(t,yi,zi)∈[0,T]×R×Rd,i=1,2使得：

|f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)|≤C(|y1-y2|+|z1-z2|)

定義1如果Ft-可測的二元隨機過程(y,z)∈S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)且滿足方程(1)，則稱(y,z)為重倒向隨機微分方程(1)的解。

2主要結果

引理1[1]假設(H1)、(H6)和(H7)成立，則重倒向隨機微分方程(1)有唯一解(y,z)∈S2(0,T;R)×M2(0,T;Rd)。

比較定理是重倒向隨機微分方程理論中一個十分重要而有效的工具。Shi等[6]在Lipschitz條件下給出了重倒向隨機微分方程的比較定理, 并在連續和線性增長條件下證明了解的存在性。Lin[8]在僅僅一個方程的系數滿足Lipschitz條件下給出了重倒向隨機微分方程的比較定理,一類不連續系數的重倒向隨機微分方程解的存在性定理也被證明。下面，筆者僅僅在一個方程的系數滿足連續和線性增長條件下給出比較定理。

定理1 (比較定理)假設參數為(f,g,ξ,T)及(f′,g,ξ′,T)的重倒向隨機微分方程(1)分別有解(y,z)及(y′，z′)，且進一步假設:

1)ξ≤ξ′P-a.s.；

證明這里筆者僅證第1種情況，另一種情況的證明是類似的。

對任意確定的C>0，定義：

fn(t,y′,z′)≤f(t,y′,z′)≤f′(t,y′,z′)P-a.s

從而, 由文獻[8]知yn≤y′P-a.s.。證畢。

構造如下重倒向隨機微分方程序列:

(2)

證明對n=1，考慮如下重倒向隨機微分方程：

(3)

于是：

對n=2，考慮如下的重倒向隨機微分方程:

(4)

于是：

(5)

類似于n=2知：

(6)

令：

由(H3)，(H4)知：

由(H1)得：

這里：

于是：

因此：

令：

從而由(H1)知：

從而，由控制收斂定理知：

此外，由B-D-G’s不等式知：

對于n=1，考慮如下重倒向隨機微分方程:

(7)

(8)

類似于n=1得到：

3結語

2009年，Modest和Owo[10]研究了重倒向隨機微分方程(2)解的存在性，但在文獻[10]中需要假設(H4′)來代替定理2中的假設(H4)。事實上，假設(H4′)是(H4)的一個特例。此外，在定理2中僅僅需要g(·,0,0)是均方可積的,而文獻[10]要求g(·,0,0)=0。因此，定理2是文獻[10]中的定理3.4的改進和一般化。

文獻[8]在假設(H1)、(H2)、(H3′)和(H4)成立的條件也得到了一個關于BDSDE(1)解的存在性定理，但條件(H3)比(H3′)弱。事實上， 函數f(t,y,z)=sgn{y}y2+sgn{z}滿足假設(H3)，但是對z不是Lipschitz連續，也就是說f不滿足假設(H3′), 因此定理2改進了文獻[8]中的定理4.4。此外，在條件(H3)中f對z的限制很明顯比一致連續假設要弱，且f對z僅是單邊一致連續的，因此定理2 也改進了文獻[9]中的定理4.4。

[參考文獻]

[1]Pardoux E, Peng S.Backward doubly stochastic differential equations and systems of quasilinear SPDEs [J].Probab.Theory Relat.Fields, 1994, 98:209～227.

[2] Boufoussi B, Casteren J, Mrhardy N.Generalized backwarddoubly stochastic differential and SPDEs with non linear Neuman boundary conditions [J]. Bernoulli, 2007, 13:423～446.

[3] Bally V, Matoussi A.Weak solutions of SPDEs and backward doubly stochastic differential equations I[J].Journal of Theoretical Probability, 2001, 14(1):125～164.

[4] Buckdahn R, Ma J.Stochastic viscosity solutions for nonlinear stochastic partial differential equations I [J].Stochastic Process and Their Applications, 2001, 93:181～204.

[5] Buckdahn R, Ma J.Stochastic viscosity solutions for nonlinear stochastic partial differential equations II [J].Stochastic Process and Their Applications, 2001, 93:205～228.

[6] Shi Y, Gu Y, Liu K.Comparison theorems of backward doubly stochastic differential equations and applications [J].Stochastic Analysis and Application, 2005, 23:97～110.

[7] Lin Q.A class of backward doubly stochastic differential equations with non-Lipschitz coefficients[J].Statist Probab Lett, 2009, 79:2223～2229.

[8] Lin Q. A generalized existence theorem of backward doubly stochastic differential equations[J].Acta Mathematica Sinica, English Series, 2010, 26(8):1525～1534.

[9] Lin Q.Backward doubly stochastic differential equations with weak assumptions on the coefficients[J].Applied Mathematics and Computation, 2011, 217:9322～9333.

[10]Modeste N’zi, Owo J M. Backward doubly stochastic differential equations with discontinuous coefficients [J].Statist Probab Lett, 2009, 79:920～926.

[11]Leprltier J P, San Martin J.Backward stochastic differential equations with continuous coefficients [J].Statist Probab Lett, 1997, 32(4):425～430.

[編輯]洪云飛

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-1409(2016)10-0001-06

[中圖分類號]O211.63

[作者簡介]徐麗平 (1980-)，女， 碩士， 講師，現主要從事隨機微分方程方面的教學與研究工作； E-mail: xlp211@126.com。

[基金項目]國家自然科學基金項目(11271093)； 湖北省教育廳青年人才項目(Q20141306)。

[收稿日期]2015-12-28

[引著格式]徐麗平，李治.不連續系數重倒向隨機微分方程(BDSDE)解的存在性[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(10)：1～6.