高中數(shù)學(xué)概念構(gòu)建的有效途徑

吳明明

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)的時(shí)間和空間常常會(huì)被解題教學(xué)所侵占，而實(shí)際上學(xué)生對(duì)概念的構(gòu)建直接影響到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果. 從建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論出發(fā)，借助于建構(gòu)的概念來(lái)思考高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，再結(jié)合傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀策略，可以發(fā)現(xiàn)借助問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)，借助于數(shù)學(xué)模型，借助于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程，可以有效幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，從而促進(jìn)有效教學(xué)的實(shí)現(xiàn).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；概念構(gòu)建；有效途徑

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念作為數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)，在實(shí)際教學(xué)中受到高度重視.同時(shí)，數(shù)學(xué)概念又因?yàn)閷?duì)實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決一定程度上缺乏直接關(guān)聯(lián)性（用數(shù)學(xué)教師的話說(shuō)，很少有直接考數(shù)學(xué)概念的題目），因此實(shí)際教學(xué)中又常常會(huì)通過(guò)壓縮概念教學(xué)的方法，來(lái)為數(shù)學(xué)解題提供時(shí)間. 作為一線教師，筆者深知這一策略背后有著某種無(wú)奈的心態(tài)，而尋找更為有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)的方法，也成為一線教師的必然之舉.

在有效教學(xué)的語(yǔ)境之下，有效的數(shù)學(xué)概念構(gòu)建自然會(huì)成為一個(gè)研究話題，借助于“構(gòu)建”這一詞語(yǔ)，是吸收了建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的觀點(diǎn)，是試圖從學(xué)生的角度來(lái)把握數(shù)學(xué)概念構(gòu)建的有效策略.實(shí)際教學(xué)中，筆者結(jié)合相關(guān)理論成果，尤其是結(jié)合對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的觀察，總結(jié)出這樣的幾點(diǎn)，懇請(qǐng)專家同行批評(píng)指正.

問(wèn)題鏈促進(jìn)學(xué)生新舊概念的轉(zhuǎn)換

問(wèn)題鏈這個(gè)概念相信同行并不陌生，所謂問(wèn)題鏈，就是圍繞一個(gè)主題，通過(guò)層層遞進(jìn)式的問(wèn)題的逐步提出與解決，以讓學(xué)生在自身邏輯思維的作用之下，完成思維的不斷深入. 高中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過(guò)程，顯然是一個(gè)思維高度參與的過(guò)程，若借助于問(wèn)題鏈，則可以讓學(xué)生在新舊概念的轉(zhuǎn)換中完成對(duì)新概念構(gòu)建. 而新舊概念的轉(zhuǎn)換既是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究的范疇，也是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容，因此從教學(xué)理論的角度來(lái)看，這樣的概念教學(xué)思路也是與理論有著一致性的.

現(xiàn)以“函數(shù)的周期性”（普通高課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4必修）這一教學(xué)內(nèi)容為例. 函數(shù)的周期性作為函數(shù)的性質(zhì)的學(xué)習(xí)，其以“周期性”的概念界定周期函數(shù)所表現(xiàn)出來(lái)的f（x）=f（x+T）的性質(zhì)，在實(shí)際教學(xué)中從學(xué)生的角度出發(fā)，需要關(guān)注學(xué)生原來(lái)所學(xué)過(guò)的部分概念，如函數(shù)概念是否理解，什么叫周期是否清楚明白，是否能夠熟練地利用函數(shù)圖象去構(gòu)建函數(shù)的性質(zhì)等，是否清楚三角函數(shù)的基本特征，是否知道基本三角函數(shù)的圖象等；同時(shí)又要注意新概念的內(nèi)涵與外延，如周期函數(shù)的圖象可能呈現(xiàn)出什么樣的特點(diǎn)，用周期函數(shù)來(lái)界定一種函數(shù)的性質(zhì)具有什么樣的概念性意義等.

在以上分析的基礎(chǔ)之上，教師可以設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題鏈：什么是函數(shù)？什么是三角函數(shù)？能否清晰地回憶起三角函數(shù)的概念？能否順利地作出三角函數(shù)的圖象？是否記得誘導(dǎo)公式？以正弦函數(shù)的圖象為例，如果要作出較大定義域內(nèi)的正弦函數(shù)的圖象，你是不是全部選用描點(diǎn)法作圖？（這個(gè)問(wèn)題的解決可以給學(xué)生一段時(shí)間，讓學(xué)生自己去體驗(yàn)實(shí)踐）如果不是，那你會(huì)選擇什么樣的方法？在作圖的過(guò)程中你會(huì)有什么樣的新的發(fā)現(xiàn)？這種發(fā)現(xiàn)可以用什么樣的概念來(lái)進(jìn)行描述？如果要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)完成這樣的描述，那需要構(gòu)建出什么樣的數(shù)學(xué)概念？

這一系列問(wèn)題的問(wèn)出，可以讓學(xué)生在原有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上完成周期函數(shù)概念的構(gòu)建，而對(duì)像最小正周期這樣的概念也可以順利地完成構(gòu)建. 教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生在此過(guò)程中，他們的思維是步步進(jìn)入的，起初的問(wèn)題可以促使人與人之間有效地回憶以正弦函數(shù)為思維加工對(duì)象的概念、圖象以及描點(diǎn)法作圖等作圖方法，這是舊知的再次清晰呈現(xiàn)；在此基礎(chǔ)之上，借助正弦函數(shù)的作圖，學(xué)生可以有指向性地體驗(yàn)到該函數(shù)周期性的存在，但此時(shí)又不會(huì)直接想到用周期這一概念去描述這一特點(diǎn). 但正是因?yàn)橛辛诉@樣的實(shí)踐基礎(chǔ)，他們的思維已經(jīng)聚焦到函數(shù)的周期性上，所以待教師問(wèn)出新的問(wèn)題之后，他們會(huì)迅速地將這些性質(zhì)與周期聯(lián)系在一起，于是周期函數(shù)水到渠成.

在教學(xué)實(shí)踐中筆者還發(fā)現(xiàn)，這種借助問(wèn)題鏈促進(jìn)學(xué)生新舊概念發(fā)生轉(zhuǎn)換的教學(xué)方式，還可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)遷移能力. 譬如再讓學(xué)生去分析余弦函數(shù)的時(shí)候，絕大多數(shù)學(xué)生幾乎都能很輕松地將在正弦函數(shù)中獲得的周期性認(rèn)識(shí)遷移到余弦函數(shù)當(dāng)中去. 另外，考慮到這一方式也是傳統(tǒng)教學(xué)與現(xiàn)代教學(xué)理論都強(qiáng)調(diào)的方式，因此在實(shí)際教學(xué)中需要高度重視、經(jīng)常使用，這在客觀上也可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì).

數(shù)學(xué)模型輔助學(xué)生完成概念構(gòu)建

數(shù)學(xué)模型是高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的一個(gè)熱詞，通常情況下數(shù)學(xué)模型更多地在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中得到廣泛的使用，相對(duì)而言在數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建過(guò)程中則應(yīng)用較少. 事實(shí)上，數(shù)學(xué)模型作為一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想，應(yīng)當(dāng)貫串于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建作為重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)模型及其思想應(yīng)當(dāng)發(fā)揮更為重要的作用.

這里首先強(qiáng)調(diào)一下數(shù)學(xué)模型的意義.眾所周知，數(shù)學(xué)概念具有的最大特點(diǎn)就是抽象性，而抽象性對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)雖然符合思維特征（高中學(xué)生的思維特點(diǎn)已經(jīng)由形象思維轉(zhuǎn)向抽象思維），但是一個(gè)更為重要的認(rèn)識(shí)是，當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到抽象思維難以加工的對(duì)象時(shí)，他們還是會(huì)習(xí)慣地將思維轉(zhuǎn)向形象的角度上來(lái)，這就意味著一定程度上的模型構(gòu)建，應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法與手段.于是在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用就應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重點(diǎn)內(nèi)容.

同樣如函數(shù)的性質(zhì)的教學(xué)，在學(xué)習(xí)函數(shù)的奇偶性的時(shí)候，筆者發(fā)現(xiàn)雖然說(shuō)奇偶性這一概念構(gòu)建并不復(fù)雜，但對(duì)于班上的少數(shù)學(xué)生而言，他們每次在運(yùn)用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的判斷時(shí)都會(huì)出錯(cuò). 原因出在哪里呢？筆者在每次這幾個(gè)學(xué)生出錯(cuò)之后都會(huì)分析他們出現(xiàn)的錯(cuò)誤答案，然后再與他們溝通，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們?cè)跇?gòu)建函數(shù)奇偶性的時(shí)候還是出現(xiàn)了問(wèn)題. 他們對(duì)于理解f（-x）=f（x）、f（-x）=-f（x）這樣的關(guān)系式實(shí)際上是有困難的，他們不知道括號(hào)里的負(fù)號(hào)為什么有時(shí)候沒(méi)有了，有時(shí)候又跑到了外面. 對(duì)于這部分學(xué)困生而言，要解決這一問(wèn)題，筆者以為關(guān)鍵就是幫他們建立函數(shù)的奇偶性的形象模型. 這種模型的選擇可以是具體的例子，如可以借助教材后面的例題的思想，給出某個(gè)函數(shù)在第一象限的圖象，然后讓其根據(jù)奇偶性去作出另一半的圖象. 這是一個(gè)將函數(shù)奇偶性轉(zhuǎn)換為具體圖象的過(guò)程，學(xué)生的思維可以將抽象的解析式的計(jì)算，轉(zhuǎn)換成基于圖象的判斷，對(duì)于這部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一種很好的概念構(gòu)建方式，而其背后的思想實(shí)際上就是數(shù)學(xué)模型.

事實(shí)上，這個(gè)模型本身并不復(fù)雜，關(guān)鍵是要讓這部分學(xué)生習(xí)慣于依賴這樣的模型去理解函數(shù)的奇偶性. 一旦此習(xí)慣形成，那學(xué)生就可以順利地進(jìn)行更多數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建. 而此時(shí)需要強(qiáng)調(diào)的一個(gè)觀點(diǎn)是，數(shù)學(xué)模型并不完全是那種具有極強(qiáng)模型特征的對(duì)象，更多的時(shí)候借助學(xué)生熟悉且思維更易加工的對(duì)象去完成概念的構(gòu)建，往往是數(shù)學(xué)模型思想更重要的體現(xiàn).

學(xué)以致用奠定學(xué)生概念構(gòu)建基礎(chǔ)

學(xué)以致用是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思路，一般來(lái)說(shuō)這里致用往往是指數(shù)學(xué)習(xí)題的解答，在這個(gè)過(guò)程中當(dāng)然會(huì)有數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用過(guò)程. 但如文前所說(shuō)，此時(shí)的運(yùn)用過(guò)程中，概念往往都是充分的幕后角色. 而相當(dāng)一部分學(xué)生也就是因?yàn)楦拍畈磺宥诮忸}過(guò)程中出現(xiàn)諸多困難，而教師由于教學(xué)進(jìn)度等原因，又不愿意停下來(lái)再跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念是怎么回事，于是對(duì)于相當(dāng)一部分學(xué)生而言，此時(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決就成為一個(gè)機(jī)械的灌輸過(guò)程.那么，在此過(guò)程中能不能再有機(jī)地滲透數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建呢？筆者對(duì)此進(jìn)行了借鑒、學(xué)習(xí)與嘗試.

有這樣的一道習(xí)題：求（1+cotα-cscα）（1+tanα+secα）的值. 這是一道三角函數(shù)的習(xí)題，也是一道具有一定難度的習(xí)題，如果從純粹的三角函數(shù)變形的角度來(lái)完成此題的求解，那本題對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)都是一個(gè)攔路虎. 遇到這種問(wèn)題怎么辦？事實(shí)證明此時(shí)很少有學(xué)生能夠從三角函數(shù)概念及其定義的角度來(lái)完成本題的解答. 反之，如果將問(wèn)題解決的目光返回到三角函數(shù)概念本身，通過(guò)構(gòu)建單位圓的方式，來(lái)將原題中的cotα、cscα、tanα、secα轉(zhuǎn)換成等，則可以代入之后順利發(fā)現(xiàn)最終的結(jié)果是2. 而在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)最后的答案竟然是如此簡(jiǎn)單，而過(guò)程又是如此清晰之時(shí)，學(xué)生的驚訝之情溢于言表. 這個(gè)時(shí)候筆者引導(dǎo)學(xué)生反思：為什么這個(gè)方法就如此巧妙？學(xué)生在深思熟慮之后則會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)就是在太多的三角函數(shù)的試題解答之后，忘記了三角函數(shù)本身在概念學(xué)習(xí)中的定義了. 由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，適當(dāng)?shù)貜母拍畋旧沓霭l(fā)，從概念的定義出發(fā)，可以有效地構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的教學(xué).

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)既是一個(gè)基礎(chǔ)性工作，同時(shí)又是貫串整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的工作，要從問(wèn)題設(shè)計(jì)的角度，從數(shù)學(xué)模型及問(wèn)題解決的過(guò)程中完善概念教學(xué)，這樣才可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的有效構(gòu)建.