用祖暅原理求平面圖形面積

胡娟娟

[摘 要] 為了求“非標(biāo)準(zhǔn)”的平面圖形面積，本文借助原理，把“非標(biāo)準(zhǔn)”的平面圖形進(jìn)行空間平移轉(zhuǎn)化為“非標(biāo)準(zhǔn)”的幾何體，然后求出該幾何體體積，再由體積公式求出該平面圖形面積. 通過(guò)推廣該方法可以用于求由一次函數(shù)或二次函數(shù)所圍成的幾何圖形的面積.

[關(guān)鍵詞] 祖暅原理；非標(biāo)準(zhǔn)幾何體；非標(biāo)準(zhǔn)平面圖形；面積

用初等方法求幾何體體積時(shí)，常常借助于祖暅原理，事實(shí)上，祖暅原理除了運(yùn)用于解決不規(guī)則幾何體的體積，還可以求解平面圖形的面積. 《由祖暅原理想到的——求曲邊三角形面積的初等方法》一文（裴光亞）利用祖暅原理給出了求曲邊三角形面積的初等方法，筆者嘗試對(duì)曲邊三角形進(jìn)行推廣.

祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截， 如果截得的兩個(gè)截面的面積都相等， 那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.

由于祖暅原理易求“非標(biāo)準(zhǔn)”幾何體體積，筆者聯(lián)想到把“非標(biāo)準(zhǔn)”平面圖形通過(guò)空間平移轉(zhuǎn)化為“非標(biāo)準(zhǔn)”幾何體，通過(guò)祖暅定理求出該幾何體體積，然后再由體積公式求出該平面圖形面積.下面我們看一些具體應(yīng)用.

例1 求曲線y=2x2與x軸、直線x=2所圍圖形的面積分析：如圖2，將曲邊三角形ABC沿垂直于其所在平面的方向平移一個(gè)單位，得到幾何體ABC-A1B1C1，為求該幾何體體積構(gòu)造如圖3所示的正四棱錐S-MNPQ，使得兩幾何體等高，底可見這種初等方法可以用于求由一次函數(shù)或二次函數(shù)所圍成的幾何圖形的面積.