“常用邏輯用語”中的“非P”的教學反思

陳會

摘要：命題和命題的否定的真假性是相反的，但在處理具體題目時經常會產生一些看似矛盾的結果，追究本源主要是在教學中對基本的概念定義研究不透，教學中教師要不斷提高自己的專業知識，做教材研究者、開發者，不能“教”教材，而是要“用”教材。

關鍵詞：命題;命題的否定;研究;教材

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1992-7711（2016）03-089-1

問題：這是學生和我討論的他在課外資料上做的一道題目：若x>y，則x2>y2的否定是（填“真”或“假”）命題。學生說他也知道因為命題若x>y，則x2>y2是假命題，所以他的否定是真命題，可是他就是有一個疑惑：因為命題若x>y，則x2>y2的否定是若x>y，則x2≤y2，也是一個假命題，這和我們學習的命題和命題的否定的真假是相反就矛盾了，這是怎么一回事呢？

雖然我也清楚，命題和命題的否定的真假性一定是相反的，但眼前學生的過程似乎也沒有漏洞可尋，所以，只能和學生說，你的問題很好，命題和命題的否定的真假性一定是相反的，肯定有哪個環節沒有搞清楚，我再研究一下給你解答。學生走后，我將這個問題和組內老師交流的一下，老師一時之間也找不到問題到底出在哪里，有老師還上網搜了一下，搜完的結果讓一些老師心里也動搖了，網上關于“命題和命題的否定的真假是不是一定是相反的”的答案居然是兩種，一種說法確信：命題和命題的否定的真假是不是一定是相反的;另一種說法是，命題和命題的否定的真假是不是不一定是相反的，還配有例子，選取比較典型的：

其一命題p：若a>-1，則a2>1。（假）

p：若a>-1，則a2≤1。（假）

其二命題p：x∈R，1x2>0。（假）

p：x∈R，1x2≤0。（假）

問題的解決：看到第二個例子讓我想起，對于命題p則q，它的否定不一定是若p則q，因為“非P”試將一個完整命題“P”的整個含義進行否定，而非之否定結論。比如對于一類含有量詞的命題，在全稱量詞和存在量詞的命題中，在不引起誤解的前提下，全稱量詞可以缺省。

網絡上的例子，第一個同樣是全稱命題，

命題p：a>-1，a2>1。（假）

p：a>-1，a2≤1。（真）

對于第二個例子，是一個“若p則q”形式的假言命題又稱條件命題。一般地，在形式邏輯中，對于“若p則q”形式的命題，如果q真，那么不論p是真是假，命題“若p則q”為真;如果q假，p也假，那么命題“若p則q”也為真;如果q假，p真，那么命題“若p則q”為假。總之，“若p則q”形式的命題，只有p真且q假時為假，其他情況下均為真。故命題p：x∈R，1x2>0是真命題，而其否定p：x∈R，1x2≤0是假命題;

反思：上述問題的解決也讓我對“常用邏輯用語”（《數學選修21》蘇教版）這一章的教學陷入深深地反思。關于命題的否定，學生在學習中常見的錯誤有：

（1）認為“非P”就是否定結論;

（2）認為“非P”就是在原命題的判斷詞前加上否定詞;

（3）認為“非P”就是原命題的否命題;

（4）當P時復合命題時，忽視對相關邏輯聯結詞的否定。

這些錯誤的根源都是沒有領會“非P”的定義，這些易錯的問題也給我們的教學以警示。

首先在教學中教師要深入研究，吃透教材，把握好教材的深度和廣度。《數學選修21》（蘇教版）大綱中對于簡單邏輯連接詞“或”“且”“非”的要求是：通過教學實例，了解邏輯連接詞“或”“且”“非”的的含義。對于命題的否定，教材并沒有給出給出命題否定的概念，只是通過一個例子：2不是有理數，這個命題是對命題“2是有理數”進行否定而成的新命題，在邏輯上用“非”來表示，而“非p”也叫做命題的否定，記做p，所以我們教學的重點是通過一定量的實例，讓學生了解“非”的含義是將原命題的整個含義進行否定，而非形式化的去寫出命題的否定。即便在教學中，教師要區分命題的否定和否命題這兩個概念，也不能將命題“若p則q”的否定形式化的表示為“若p則非q”，造成邏輯的錯誤。

其次，教師要善于挖掘教材，創造性地使用教材。教材是教學活動的一種媒介和載體，在實際教學實踐中，教師在教材面前不是被動的執行者，而是研究者、開發者。教師不是教教材，而是要用教材。對于全稱命題省略量詞這一表達形式，給出全稱命題定義時并沒有說明，但是在教材例題中卻體現出來了。例如：寫出下列命題的否定《數學選修21》蘇教版第16頁例1）：

（1）所有人都晨練;

（2）x∈R，x2+x+1>0;

（3）平行四邊形的對邊相等;

（4）x∈R，x2-x+1=0。

第（3）題就是省略了全稱量詞的全稱命題。以下是教材中的解答：“平行四邊形的對邊相等”是指任意一個平行四邊形的對邊相等，它的否定是“存在平行四邊形它的對邊不相等”;在這里教師一方面就要強調含有量詞的命題的否定的形式，又要向學生介紹這類省略了全稱量詞的命題。

最后，教師要提高自己的專業知識。邏輯邏輯問題看似簡單，實則抽象難懂。數學是一門以演繹為主的科學，需要講究邏輯基礎。近年來，將簡單的邏輯知識納入中學數學教材教學，已成為國內外中學數學教材改革的一種趨勢。現在高中知識對邏輯知識要求越來越高，但我們教師在邏輯方面的知識卻是欠缺的。所以，教師要不斷地加強專業知識的學習，以適應新的教學要求。

[參考文獻]

[1]劉彥宏.淺談“簡易邏輯”中的“否命題”和“非P”.科教平臺，2007（03）.

[2]周鴻高.再談逆否命題與原命題的真假性關系.數學通訊，2009（09）.