巧用平面幾何知識解解析幾何的問題

林慧斌

摘 要：解析幾何是高中數學的重要內容，在高考中分值所占的比重較大。在解題的過程中計算量大，對運算求解能力要求高。本文探索了如何應用平面幾何的有關定理和性質解決解析幾何中的軌跡問題和最值問題，減少解題的過程中計算量。

關鍵詞：平面幾何；解析幾何；圓錐曲線；軌跡；最值

解析幾何是高中數學的重要內容，高考中分值所占的比重較大。它的基本思想是利用代數的方法研究幾何問題的基本特點和性質，因此，在解題的過程中計算量大，對運算求解能力要求高。很多學生在做題時只想著用高中所學的解析幾何知識去解，忽略應用平面幾何的知識。雖然解題時思路清楚，方向明確，但是浪費時間，不得不半途而廢。事實上，如果學生能轉換角度，巧妙運用平面幾何知識，把題目中平面幾何的本質挖掘出來，即可化繁為簡。下面結合本人的教學經驗和一些例題總結出幾種利用平面幾何知識巧解解析幾何問題的方法。平面幾何知識在解析幾何中應用，最主要有兩塊內容：軌跡問題和最值問題。

一、軌跡問題的應用

求軌跡問題在解析幾何中處于十分重要的地位。求軌跡方程的實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標法”將其轉化為尋求變量間的關系，這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義、幾何性質等基本知識點的掌握還充分考查數形結合、函數與方程、化歸與轉化、分類討論等數學思想方法，還涉及函數、方程、不等式、三角、平幾等綜合知識，因此它是高考考查的重要方向之一。

求軌跡方程的方法有：直接法、待定系數法、定義法、相關點法、參數法、交軌法等。縱觀多年來的高考試題，學生如果能夠巧妙運用平面幾何的知識，把抽象的數學問題直觀化、形象化，能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。

這題涉及到橢圓的定義，橢圓的幾何性質，應用三角形中位線的性質使問題簡化了大量的運算。

二、最值問題的應用

最值問題屬于解析幾何的綜合問題，這種綜合性體現在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互融合，解析幾何中常見求最值常見的解法有兩種：幾何法、代數法。

若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形結合幾何性質來解決。通過下面的問題，我們一起來看如何利用平面幾何的知識解決問題。

例3：已知點P是拋物線上的動點，點P中y軸上的身影是M，點A的坐標是，則當時|PA|+|PM|的最小值為。

在研究拋物線的性質時，要注意定義的轉化并結合圖形分析，特別是平面幾何的有關性質的應用，本題利用平面幾何知識，即三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

從近年的高考試題中，我們注意到解析幾何所研究的問題以平面幾何的性質為背景，并且現在高考特別提出“多考想，少考算”，所以學生在解題過程中為避免代數方法帶來的繁雜、冗長的計算，應仔細分析題設中圖形特征和數量關系，充分運用平面幾何的有關知識，將幾何問題化歸為代數問題，這是解解析幾何問題的一種基本技巧。

參考文獻：

[1]楊文彬.研究與刷題[M].外語教學與研究出版社.

[2]許永忠.解惑108題[M].浙江大學出版社.

[3]教育部考試中心編. 2016年全國統一考試大綱的說明[M].高等教育出版社.

（作者單位：福建省龍海市龍海一中）