應用二重積分法計算邊緣密度函數

趙秀菊

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2016.24.145

摘 要：把直角坐標系下二重積分化累次定積分的方法應用于計算二維連續型隨機變量的邊緣概率密度，從熟悉到不熟悉，使學生更容易掌握。已知二維連續型隨機變量的聯合概率密度函數，求邊緣密度一直是學生學習的一個重點，同時也是一個難點。

關鍵詞：概率密度 隨機變量 X-型區域 Y-型區域

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）08（c）-0145-02

在概率統計授課中，發現學生主要有兩方面的困難：一是不知道如何確定每個隨機變量的討論區間；二是不知道邊緣密度函數公式中定積分的上下限如何簡單得到。該文將直角坐標系下二重積分化為累次定積分的方法應用于求連續型隨機變量邊緣密度函數中，從而給出一種求邊緣密度函數的新方法。

1 二重積分化累次定積分的計算步驟

Step1：畫積分區域，確定積分區域的類型。

Step2：若是X-型，則將二重積分化為外層對x積分，內層對y積分；然后確定x、y的上下限，積分區域內x的最小值和最大值分別作為外層積分的上下限，內層上下限的確定方法為：在積分區域內畫垂直于x軸的直線，此直線進去、出去時與積分區域的兩個交點的y的值分別作為外層的上下限。

若是Y-型，則將二重積分化為外層對y積分，內層對x積分；然后確定x、y的上下限，積分區域內y的最小值和最大值分別作為外層積分的上下限，內層上下限的確定方法為：在積分區域內畫垂直于y軸的直線，此直線進去、出去時與積分區域的兩個交點的x的值分別作為外層的上下限。

Step3：先計算內層定積分，然后將內層的計算結果作為外層的被積函數對外層再進行一次定積分。

2 二維連續型隨機變量的邊緣概率密度的定義

設二維連續型隨機變量（X，Y）的聯合概率密度函數為，X為一個一維連續型隨機變量，其概率密度（即X的邊緣概率密度）為[1]：

Y為一個一維連續型隨機變量，其概率密度（即Y的邊緣概率密度）為：

3 利用二重積分化累次定積分的方法計算邊緣概率密度

該文只討論聯合密度函數為如下的類型：

（1）計算X的邊緣概率密度函數。

計算此問題就相當于二重積分化累次定積分時X-型區域的Step2，把x的上下限的確定方法當成此處x的密度函數不為零的區間的尋找方法；把內層y的上下限的確定方法當成尋找邊緣密度函數計算公式中定積分的上下限的確定方法。具體步驟如下。

Step1：畫出不為0的區域D，確定此區域x的最小值a和最大值b，得x的密度函數不為零的區間[a，b]，從而x的討論區間為[a，b]及其剩下部分所構成的區間。

Step2：在區間[a，b]內，畫垂直于x軸的直線，此直線進去、出去時與區域D的兩個交點的y的值分別作為定積分的上下限。

Step3：x的其他區間內由于聯合密度函數為0，故x的邊緣密度函數也為0。

（2）計算Y的邊緣概率密度。

計算此問題就相當于二重積分化累次定積分時Y-型區域的Step2，把y的上下限的確定方法當成此處y的密度函數不為零的區間的尋找方法；把內層x的上下限的確定方法當成尋找邊緣密度函數計算公式中定積分的上下限的確定方法。具體步驟如下。

Step1：畫出不為0的區域D，確定此區域y的最小值a和最大值b，得y的密度函數不為零的區間[a，b]，從而y的討論區間為[a，b]及其剩下部分所構成的區間。

Step2：在區間[a，b]內，畫垂直于y軸的直線，此直線進去、出去時與區域D的兩個交點的x的值分別作為定積分的上下限。

Step3：y的其他區間內由于聯合密度函數為0，故y的邊緣密度函數也為0。

例1：設（X，Y）的聯合概率密度函數為：

求X、Y的邊緣概率密度函數。

解：不為0的區域D如圖1。

（1）X的邊緣概率密度函數的計算過程。

由圖1可得，區域D內x的最小值0和最大值1，得x的密度函數不為零的區間[0，1]。從而x的討論區間為。

在區間[0，1]內畫垂直于x軸的直線，此直線進去、出去時與區域D的兩個交點的y的值分別為0和1，此即為定積分的上下限。

故X的邊緣概率密度函數為：

（2）Y的邊緣概率密度函數的計算過程。

由圖1可得，區域D內y的最小值0和最大值1，得y的密度函數不為零的區間[0，1]。從而y的討論區間為；

在區間[0，1]內畫垂直于y軸的直線，此直線進去、出去時與區域D的兩個交點的x的值分別為0和1，此即為定積分的上下限。

故Y的邊緣概率密度函數為：

4 結語

從上例的計算過程可以發現，計算X的邊緣概率密度函數時，討論區間的確定相當于計算二重積分時X-型區域外層的確定方法，而計算X的邊緣密度函數公式中定積分上下限的確定相當于計算二重積分時X-型區域內層上下限的確定。計算Y的邊緣概率密度函數時，討論區間的確定相當于計算二重積分時Y-型區域外層的確定方法，而計算Y的邊緣密度函數公式中定積分上下限的確定相當于計算二重積分時Y-型區域內層上下限的確定。從而把學生高等數學中熟悉的知識與概率統計中不熟悉的內容相結合，學生容易理解且計算方便。

參考文獻

[1] 魏宗舒.概率論與數理統計教程[M].高等教育出版社，2001：118-185.