《二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

劉丹丹

一、教學(xué)目標(biāo)

1. 知識(shí)與技能

（1）能利用組合數(shù)的方法證明二項(xiàng)式定理;

（2）理解并掌握二項(xiàng)式定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

2. 過程與方法

通過學(xué)生參與和探究二項(xiàng)式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力以及化歸意識(shí)與知識(shí)遷移能力，體會(huì)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的思維方式，并形成從特殊到一般的歸納.

3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識(shí)、合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，感受數(shù)學(xué)史.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：探究并歸納用組合數(shù)的方法得到展開式的形成過程，并由此得到二項(xiàng)式定理.

難點(diǎn)：1. 展開式中的項(xiàng)的特點(diǎn);2. 展開式中各項(xiàng)系數(shù)的確定.

三、教學(xué)設(shè)想

為了突破難點(diǎn)、突出重點(diǎn)，我采用化歸的思想將二項(xiàng)式展開過程化歸到熟悉的（a+b）2，（a+b）3，設(shè)計(jì)展開（a+b）4，進(jìn)而探究（a+b）10，引出課題，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生采用分組合作探究的形式分析、解決問題.

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 數(shù)學(xué)史

屏幕展示科學(xué)家牛頓，陳述二項(xiàng)式定理是他在數(shù)學(xué)史上的第一個(gè)發(fā)現(xiàn)，引出課題.

2. 創(chuàng)設(shè)情境

設(shè)計(jì)問題串，創(chuàng)設(shè)情境，引出二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程.

問題1：大家可能會(huì)問，二項(xiàng)式定理是用來研究什么的？

二項(xiàng)式定理就是用來研究（a+b）n（n∈N*）是如何展開的.

問題2：（a+b）2等于什么？

問題3：快速計(jì)算（a+b）3，并回答你是用什么方法得到的.

問題4：用同樣的方法可以快速展開（a+b）10嗎？

我們要展開（a+b）10就須要知道（a+b）9，要展開（a+b）9就須要知道（a+b）8 ……

這個(gè)過程是相當(dāng)復(fù)雜的，那么我們就來研究怎樣能夠更快地展開（a+b）n.現(xiàn)在如果你是牛頓，你會(huì)怎么想（應(yīng)該從這里面尋找一個(gè)規(guī)律）？

引出尋找一個(gè)新的方法，快速展開（a+b）n，保證后面能選取最便捷的方法，并且運(yùn)用該方法準(zhǔn)確、快速地得到答案.

3. 教授新課

尋找規(guī)律。請(qǐng)大家思考一下：第一，我們從什么地方開始尋找規(guī)律？第二，這個(gè)展開式雖然很復(fù)雜，但是只要我們能夠抓住幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)就可以把展開式輕松展開，那么，這幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)是什么？

我們要找一個(gè)規(guī)律，這個(gè)規(guī)律肯定是n∈N*，只要在這個(gè)范圍內(nèi)什么樣的式子都成立.所以我們可以從簡(jiǎn)單的式子入手，以此類推.第二，雖然展開的式子很復(fù)雜，但是只要我們抓住這幾條：（1）展開后有多少項(xiàng);（2）各單項(xiàng)式的形式;（3）各單項(xiàng)式的系數(shù).

這節(jié)課我們將從這三個(gè)方面來重點(diǎn)研究問題.首先，讓我們對(duì)（a+b）2的展開式的形成過程重新進(jìn)行分析. 2ab這一項(xiàng)是ab與ba合并同類項(xiàng)之后形成的.接下來，用新的思想重新考慮系數(shù)2是怎樣形成的，引出應(yīng)該從ab這一項(xiàng)是怎樣形成的去考慮.ab這一項(xiàng)的形成可以看做：從這兩個(gè)因式中選擇一個(gè)因式，讓其中一個(gè)出現(xiàn)a，另一個(gè)出現(xiàn)b. 對(duì)于一個(gè)因式來說，它里面要么出現(xiàn)a，要么出現(xiàn)b，且只能出現(xiàn)一個(gè). 因此，出現(xiàn)a了就不能出現(xiàn)b;出現(xiàn)b了就不能出現(xiàn)a .事實(shí)上，以誰為研究對(duì)象都可以，在這里，我們不妨以b為研究對(duì)象，所以引出二項(xiàng)式定理從始至終以b作為研究對(duì)象.

接著分析ab這一項(xiàng)，ab可以看做是從兩個(gè)因式中選出一個(gè)因式出現(xiàn)b，有C21種可能性，剩下的因式自然就出現(xiàn)a，則只有一種可能，因此我們始終以b為研究對(duì)象，就得到了2ab.接下來用同樣的思想來探索a2，可以看做從兩個(gè)因式中選0個(gè)因式出現(xiàn)b。因此，對(duì)它來說應(yīng)該是C20a2;最后一項(xiàng)，從兩個(gè)因式中選出2個(gè)，讓它們都出現(xiàn)b，就有了C22b2這一項(xiàng).

如此，我們用組合數(shù)的方法重新定義了我們所認(rèn)識(shí)的（a+b）2，那么接下來再用同樣的方法探索一下（a+b）3具體會(huì)出現(xiàn)哪些項(xiàng)（按b的升冪的順序?qū)懗雒恳豁?xiàng)），每一項(xiàng)的形成過程是什么（請(qǐng)學(xué)生回答）.強(qiáng)調(diào)在以b為研究對(duì)象的前提下，在每一項(xiàng)的形成過程中產(chǎn)生了相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，而系數(shù)是用組合數(shù)定義的，這是我們最關(guān)心的.根據(jù)剛才的規(guī)律，可以快速推出（a+b）4，利用組合數(shù)的思想寫出系數(shù)C40、C41、C42、C43、C44.

現(xiàn)在，以（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4作為最基本的研究對(duì)象，你能不能從中找到一些規(guī)律？還是從我們所說的三點(diǎn)總結(jié)，即項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)數(shù)特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)系數(shù)的特點(diǎn).學(xué)生討論，并將討論的結(jié)果與大家一起分享.

注意：在討論的過程中，從項(xiàng)數(shù)特點(diǎn)上滲透通項(xiàng)，從每一項(xiàng)的形成過程得到每一項(xiàng)的系數(shù)，而且按照b的升冪的順序列出每一項(xiàng)，既簡(jiǎn)潔又可體現(xiàn)數(shù)學(xué)里的對(duì)稱美.

從三個(gè)方面來尋找規(guī)律，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，用歸納推理的思想猜測(cè)出二項(xiàng)式定理，進(jìn)而對(duì)其證明.

表明二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)：

（1） Tk+1=Cnkan-kbk ?k=0，1，2…n.

（2）每個(gè)式子都有n次，a降冪，b升冪.

（3）共有n+1項(xiàng).

（4）Cn0、Cn1…Cnk…Cnn叫做二項(xiàng)式系數(shù).

（5）用加號(hào)連接.

4.課堂鞏固

例1：求（2-）6的展開式.

從本例總結(jié)出一個(gè)二項(xiàng)式展開式的某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)是兩個(gè)不同的概念.

例2：（1）求（1+2x）7的展開式4項(xiàng)的系數(shù).

（2）求（x+）9的展開式x3的系數(shù).

本例題中體現(xiàn)了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)的作用，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)內(nèi)容：Tk+1=Cnkan-kbk ?k=0，1，2…n.

（1）為二項(xiàng)展開式中的第k+1項(xiàng).

（2）利用通項(xiàng)可以求出二項(xiàng)展開式中某些特殊的項(xiàng)：如常數(shù)項(xiàng)，含x的n次冪的項(xiàng)，某項(xiàng)的系數(shù)等.

學(xué)習(xí)了公式，要學(xué)會(huì)正用、逆用，還要學(xué)會(huì)變形用.

例3：化簡(jiǎn)（x-1）4+4（x-1）3+6（x-1）2+4（x-1）+1.

5.課堂小結(jié)

請(qǐng)大家思考：

（1）本節(jié)課新學(xué)習(xí)的基本知識(shí)點(diǎn);

（2）本節(jié)課新知識(shí)點(diǎn)的得出用了什么思想方法？

讓學(xué)生回顧知識(shí)形成過程，梳理思路，自我歸納總結(jié).

6.作業(yè)

（1）在二項(xiàng)式定理中，如果設(shè)a=1，b=x，則得到什么公式？

（2）試寫出（1+b）n的展開式.

五、設(shè)計(jì)思考

二項(xiàng)式定理是初中學(xué)過的多項(xiàng)式乘法的繼續(xù)，是組合知識(shí)的進(jìn)一步運(yùn)用，本節(jié)課的教學(xué)重、難點(diǎn)是“使學(xué)生掌握二項(xiàng)式定理的形成過程”，在教學(xué)中，采用“問題—探究”的教學(xué)模式，把整個(gè)課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個(gè)階段，讓學(xué)生體會(huì)研究問題的方式方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式，讓學(xué)生體驗(yàn)定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程.