淺談數學思維的特性

王麗

在現代心理學中，思維被理解為“受社會所制約的，同言語緊密聯系的，探索和發現嶄新事物的心理過程，是對現實進行分析和綜合中間接概括反映現實的過程. 思維在實踐活動基礎上由感性認識產生并遠遠超出了感性認識的界限. ”也有人說：“思維是人腦對客觀現實概括的和間接的反映，它反映的是事物的本質與內部規律性. ”把他們的敘述概括起來：思維包括兩個方面，一是能反映，二是有意識. 能反映，在這點上，人和動物是一樣的，反映的僅是事物的個別屬性、個別事物及其外部聯系，屬于感性認識. 有意識，這是指人和動物的一個顯著區別，人腦可以產生意識（頭腦中已有知識和自覺攝取知識的習性），而動物沒有意識.

思維是對客觀事物的內在聯系和本質屬性的反映；反映的方式不是直觀的，零散的，而是間接的和概括的：① 思維要依靠感性認識，但遠遠超脫于感性認識的界限之外，去認識那些沒有直接感知過的或根本無法感知到的事物，以及預見和推知事物發展的進程，其間接性關鍵在于知識與經驗的作用，它隨著主體知識經驗的豐富而發展起來的，因此知識和經驗對思維能力有重要影響. ② 思維之所以能揭示事物的木質和內在規律性，主要來自抽象和概括的過程，以大量的己知事實為依據，在已有知識經驗的基礎上，舍棄個別事物的個別特征，抽取他們的共同特征，從而得出新的結論.

數學思維通常是指人們在數學研究與數學學習活動中思想的或心理的過程與表現. 數學思維是通過對數學問題的提出、分析、解決、應用和推廣等一系列工作，以獲得對數學對象（空間形式、數量關系、結構模式）的本質和規律性的認識過程. 也可以簡單地說，數學思維是數學活動中的思維. 這個過程是人腦的意識對數學對象信息的接受、分析、選擇、加工與整合. 蘇聯學者奧加涅相強調數學思維是人們認識具體的數學科學，或是應用數學與其他科學技術和國民經濟等過程中的辯證思維. 王梓坤院士在：《今日數學及其應用》一文中指出：當代數學思維是一種定量思維.

數學思維的特性一方面來自于數學學科本身的特點，即“高度的抽象性”、“嚴密的邏輯性”、“結論的精確性”以及“應用的廣泛性”. 另一方面來自于數學用以認識現實世界現象的方法，正如徐利治教授指出的：數學思維同時還具有類似自然科學思維的“觀察、實驗、類比、歸納”等特點. 我國眾多的數學教育專家與學者在不同的論著中也提出了許多大同小異的看法：廣泛性、創造性、概括性、批判性、靈活性等. 又基于眾多數學家與數學工作者的數學思維活動的親身感受和體驗，可以認為數學思維具有廣泛的涵義，在教育教學中不斷探索.

下面介紹數學思維的幾大主要特性.

（1）數學思維的深刻性

數學思維的深刻性是學生對實際事物中的數學關系進行抽象概括而獲得數學問題，對具體數學材料、數學問題進行分析概括而得出數學模型，選擇恰當的數學方法、用合適的數學計算求出此模型的解或近似解，以及對解的實踐檢驗、對模型的修正等過程中，思考的廣度、深度、難度和嚴謹性水平的集中反映. 它表現在能深入地鉆研與思考問題，善于從復雜的事物中把握它的本質，而不被一些表面現象所迷惑，特別是在學習中克服思維的表面性、絕對化與不求甚解的毛病.要培養學生思維深刻性，首先，在概念的教學中，要讓學生了解概念的形成，既要知其所以，又要知其然，充分認識概念的內涵和外延，分清一些容易混淆的概念，如正數與非負數，方根與算術根等.在定理、公式、法則的教學中，要讓學生完整地掌它們（包括條件結論和適用范圍），領會其精神實質，切忌形式主義、表面化和一知半解、不求甚解.

（2）數學思維的廣闊性

數學思維的廣闊性是指思路寬廣，善于從多方面、多角度去思考問題. 它表現在能多方面、多角度去思考問題，善于發現事物之間的多方面的聯想，找出多種解決問題的辦法，并能把它推廣到類似問題中去.思維的廣闊性還表現在學生對所學數學知識進行歸類與概括，并運用概括擴大解題結果的適用范圍，把個別在一定條件下推廣到一般情況.

（3）數學思維的靈活性

數學思維的靈活性主要是指能夠根據客觀事物的發展與變化，及時調整自己的思路，改變已有的思維過程，尋找新的解決問題的方法. 數學思維的靈活性主要是學生在數學思維活動中，思考的方向多、過程活、思維技巧能夠適時轉換，即思維的應變能力強，在數學學習中活躍地表現為解題能力，即有的放失地轉化解題方法的能力，靈巧地從一種解題思路轉向另一種思路的能力，或是具有超脫習慣處理方法約束的能力，當條件變更時，能迅速找到新的方法，也能隨著新知識的掌握和經驗的積累重新安排己學的知識，還表現為從己知因素中看出新的因素，從隱蔽的數學關系中找到解決向題的實質.

（4）數學思維的批判性

數學思維的批判性是指思維活動中善于嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程的思維品質.

（5）數學思維的創新性

數學思維的創新性是人類思維的高級形態，它是在新異的問題情境中，在一定目標的指引下，調動一切已知信息，獨特、新穎且有價值地解決問題的過程中表現出來的智力品質；數學思維的獨創性品質也可以從用新穎、獨特的方法解決熟悉問題的過程中表現出來.

以上是數學思維的幾大特性，在培養學生數學思維能力的同時也能使學生的創新能力得以提升. 創新是民族發展的靈魂，數學的創新思維是解決數學問題的關鍵，如奧賽題等均需要我們創新思維.

數學的核心問題是問題和解，數學思維的特性在解決數學問題中的作用非常重要，能靈活運用以上特性能使我們在解題中遇到困難時，甚至已山窮水盡疑無路時，尋找到柳暗花明又一春的美好境界.

北華大學數學與統計學院，李輝，教授，碩士生導師（通訊作者）.