數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐研究

林衛(wèi)

【摘要】 數(shù)量比較抽象，難以把握，但圖形具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，能表達(dá)較多具體的思維. 數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”，也就是抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，提高數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)效率的思想. 本論文論述的就是如何將數(shù)形結(jié)合思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合起來，用好數(shù)形結(jié)合去實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)的高效教學(xué).

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；教學(xué)研究

初中階段的學(xué)生，抽象思維應(yīng)用能力較弱，在學(xué)習(xí)對抽象思維要求較高的數(shù)學(xué)時，會存在較多困難，而數(shù)形結(jié)合思想的引入可以幫助學(xué)生更容易的理解數(shù)學(xué)語言、概念，學(xué)好這門課程. 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐運(yùn)用可概括為“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”兩方面，分別應(yīng)用于簡化、解決代數(shù)問題和幾何問題.

一、“以形助數(shù)”，提高代數(shù)教學(xué)效率

“以形助數(shù)”指根據(jù)給出的“數(shù)”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造出與之對應(yīng)的幾何圖形，或根據(jù)已給圖形分析數(shù)的特點(diǎn)，從而化抽象為直觀，把復(fù)雜問題簡單化. 一般表現(xiàn)在兩個方面：一是“以形促數(shù)”，即利用圖形的直觀性促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)或數(shù)之間的關(guān)系；二是“數(shù)難形易”，突出依托圖形的直觀性，展開形象思維以解決代數(shù)問題.

（一）在概念教學(xué)過程中的應(yīng)用

概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，數(shù)學(xué)中的法則都是建立在一系列概念基礎(chǔ)上的，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，在幫助學(xué)生掌握、理解、鞏固概念時，數(shù)形結(jié)合思想可發(fā)揮重要作用.

例如在學(xué)習(xí)有理數(shù)的概念時，數(shù)形結(jié)合可以非常好的幫助學(xué)生理解負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對值等概念，直觀的比較出數(shù)的大小. 負(fù)數(shù)的概念：小于0的數(shù)稱為負(fù)數(shù)，在數(shù)軸上表示為原點(diǎn)左邊的數(shù).

相反數(shù)的概念：在數(shù)軸上，與原點(diǎn)距離相等的兩個數(shù)稱為相反數(shù). 0的相反數(shù)是0

絕對值的概念：在數(shù)軸上，一個數(shù)的絕對值為這個數(shù)與原點(diǎn)的距離. 見圖1.

（二）在解題教學(xué)過程中的應(yīng)用

“以形助數(shù)”在解決初中數(shù)學(xué)中的代數(shù)問題時應(yīng)用廣泛，以圖形作為輔助解題手段，能有效啟發(fā)學(xué)生的形象思維，找到解決問題的最優(yōu)方法.

例：求二次不等式x2 + 2x - 3 > 0的解集.

按照純代數(shù)解法是首先將以上二次不等式轉(zhuǎn)化為（x + 3）（x - 1） > 0，在轉(zhuǎn)化為兩個不等式組x + 3 > 0、x - 1 > 0和x + 3 < 0、x - 1 < 0，然后求得結(jié)論.

若應(yīng)用以形助數(shù)思路，獲得正確結(jié)論的速度和直觀性和上述方法不可比擬的. 步驟為，先求出一元二次方程x2 + 2x - 3 = 0的兩個根，即：x1 = -3，x2 = 1，再畫出y = x2 + 2x - 3的函數(shù)圖像. 見圖2.

從圖2中，x2 + 2x - 3 > 0的解集一目了然. 同時又把一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)通過圖像的制作過程直觀的聯(lián)系了起來，能幫助學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的過程中理解、掌握和強(qiáng)化以上知識，提高分析、解決相關(guān)問題的能力.

二、“以數(shù)解形”，利用代數(shù)性質(zhì)解決幾何問題

以數(shù)助形即有關(guān)“形”的問題可借助數(shù)式的推演，使之量化，從而準(zhǔn)確揭示“形”的性質(zhì). 也就是說，從“形”的表象找到“數(shù)”的實(shí)質(zhì)，將純幾何問題在“數(shù)”的引導(dǎo)和應(yīng)用下得到最簡便合理的解決，由表及里、形中有數(shù)，就是數(shù)形結(jié)合中的“以數(shù)解形”.

（一）在概念教學(xué)過程中的應(yīng)用

以學(xué)習(xí)平面幾何中有關(guān)圓的內(nèi)容為例，教師為讓學(xué)生辨清并牢記點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等概念，就可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，通過數(shù)來幫助學(xué)生理解圖形的空間位置.

理解圓與圓的位置關(guān)系，可設(shè)大小兩個圓的半徑分別為R和r，R > r，兩個圓的圓心距為d，見圖3.

則此時可引入“數(shù)”來輔助學(xué)生理解圓的相切、相離、相交、同心等位置關(guān)系. 即：

當(dāng)d > R + r時，兩圓位置關(guān)系為外離；

當(dāng)d = R + r時，兩圓位置關(guān)系為外切；

當(dāng)R - r < d < R + r時，兩圓位置關(guān)系為相交；

當(dāng)d = R - r時，兩圓位置關(guān)系為內(nèi)切；

當(dāng)d < R - r時，兩圓位置關(guān)系為內(nèi)離；

當(dāng)d = 0時，兩個圓的圓心重合，即為同心.

（二）在解題教學(xué)過程中的應(yīng)用

幾何題由于有圖形顯得較為直觀，但對于結(jié)論與已知條件相距甚遠(yuǎn)，難以參透其中聯(lián)系的題型，常常難以找到解題途徑，此時引入數(shù)的概念，用代數(shù)方法去解決幾何問題，思路往往能一下子豁然開朗.

三、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在教學(xué)中的必要性

數(shù)學(xué)研究的是數(shù)量關(guān)系和空間形式，空間形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，因此“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的基本研究對象，也是數(shù)學(xué)思維的基本內(nèi)容，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，數(shù)形結(jié)合思想不可或缺. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重傳授學(xué)生“以數(shù)解形”與“以形助數(shù)”的思維方式，有意識的引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想去分析和解決問題，注意著重培養(yǎng)學(xué)生觀察和挖掘圖形蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系、正確繪制圖形反映相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系等能力，加深學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解與掌握，開拓學(xué)生創(chuàng)造型抽象思維，提高學(xué)生思維素質(zhì)，為今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊艷麗. 淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合[J].數(shù)理天地（初中版），2014，（04）：35-36.

[2]閆林.數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].才智，2009，（15）：15-18.

[3]唐新陽. 數(shù)形結(jié)合思想及其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[D]. 浙江：嘉興學(xué)院，2009：7-8.