淺析新課標下的幾何圖形變換

吳斌

構建在新課標體系下的初中數學新教材，都融入了一個全新的知識模塊——幾何圖形的變換.它涵蓋了平移變換、旋轉變換、對稱（軸對稱和中心對稱）變換及位似變換等四種變換.這些圖形變換的引入，有利于提升學生的立體空間想象能力， 也有利于學生自主動手習慣的養成，能較好地詮釋新課改理念的精髓；圖形變換又與客觀現實世界息息相關，也是對“數學源于生活”最好的說明.

不同的圖形變換，它們都有明確的概念范疇的定義.課本中的這些概念形成都是順從各自不同的運動變換軌跡，加以定義的.而在分析解答此類問題時，則應好好捉住它們各自的本質特征屬性，以點（旋轉中心或對稱中心），或以線（平移的距離或對稱軸）為支撐點，有的放矢進行問題的作答.

一、平移變換

平移變換的定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移.平移的性質特征：（1）平移不改變圖形的形狀和大小；（2）經過平移，對應點所連的線段平行且相等；（3）對應線段平行且相等，對應角也相等. 例1 如圖，已知⊙O1的半徑為1，⊙O2的半徑為2，圓心距O1O2 = 4. 現把⊙O1沿直線O1O2平移，使⊙O1與⊙O2外切，則⊙O1平移的距離為 （ ）.

A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 3或5

簡解 要確定一動一靜兩圓的位置關系，應捉住兩圓的圓心距的變化情況，以動制靜，即以動點O1的平移代表整個⊙O1的平移，當兩圓外切時， 即O1O2 = 3，而O1與O2間的位置關系又是分類解答問題的基礎，故⊙O1平移的距離為1或7，所以選C.

在解答平移變換型的試題時，首先得熟悉平移的概念及性質，再者對平移的整個過程要做到心中有數， 可“以點代面”分析圖形的整個平移過程， 即從“某一對應點移動變換的軌跡”入手，分析理清“整個圖形移動變換的軌跡”.從而把問題解決.

二、旋轉變換

旋轉變換的定義：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉；這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角.旋轉的性質特征：（1）旋轉不改變圖形的大小和形狀.經過旋轉，圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度；（2）任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角；（3）對應點到旋轉中心的距離相等.

例2 如圖，△OAB繞點O逆時針旋轉80°得到△OCD，若∠A = 110°，∠D = 40°，則∠α的度數是 （ ）.

A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°

簡解 旋轉前后兩個三角形全等，所以∠D = ∠B = 40°，又因為∠A = 110°，所以∠AOB = 30°，所以∠α = ∠BOD - ∠BOA = 80° - 30° = 50°，故選C.

熟悉旋轉的概念及性質是解答旋轉變換型試題的關鍵，對整個旋轉變換流程進行分析，作到心中有數是解題的基礎，細心的進行運算作答是答題正確的保證.

三、位似變換

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過相同點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形；這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比；位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.

例3 如圖是某校八（1）班一邊框寬度均為10 cm的矩形黑板，又量得其外框矩形的長為440 cm，寬為140 cm.

（1）課堂上，老師在黑板上列舉一道習題，請直接在黑板中解答；

（2）課后，該班甲、乙倆同桌對他們班黑板的內、外框矩形（如上圖）進行探究.

① 甲認為這兩個矩形 （填“是”或“不是”）位似圖形，試在上圖中，通過畫、找位似中心的方法加以說理；

② 乙認為這兩個矩形 （填“是”或“不是”）相似圖形，試說明理由.

簡解 （1）1：2；（2）①不是位似圖形，

∵畫找不到位似中心， ∴黑板的內、外框矩形不是位似矩形. ②不是相似圖形，∵外框矩形的長與寬的比 = = ，而內框矩形的長與寬的比 = . 又∵ ≠ ，∴該班黑板的內、外框矩形不是相似圖形.

解答位似型試題的關鍵：位似中心在哪；它們的位似比又是多少.在解答時，應特別注意位似比與這兩個位似圖形的前后排列次序有關.若是作圖題，更重要的是必須先清楚位似中心的位置，后續的作圖就顯得容易了.

四、綜合變換

一道試題的設置，有時更注重對多個知識點的考查，它多屬于比較綜合的中檔試題.

例4 （1）按要求在網格中畫圖：畫出圖形“ ”關于直線l的對稱圖形，再將所畫圖形與原圖形組成的圖案向右平移2格；

（2）根據以上構成的圖案，請寫一句簡短、貼切的解說詞： .

簡解 （1）如右圖，（2）解說合理即可，如愛心傳遞或我們心連心等.

解答這類較綜合的作圖題，應當先分析清楚作圖的前后順序，先作什么？再作什么？做到心中有數，這是解決此類試題的關鍵.

仔細閱讀上面所列舉的幾道有代表性的試題，我們不難發現，漳州地區的數學課改進程與全國其他地區一樣同步推進，它們都同樣具有鮮明的時代特色，但又具有明顯的漳州區域特點. 2016年的漳州市中考，在作圖題方面， 也許會另辟蹊徑，或是會超越這四種變換而設置，我們拭目以待.那么這四種變換會在哪里出題呢？我想也許可能會在最后兩道壓軸題中，以合理的形式出現.我相信.