從“山窮水盡”走向“柳暗花明”

徐婧

【摘要】 “畫圖”作為一種解決問題的策略，以直觀、形象的外顯方式，數形結合思想的內在蘊含，把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來進行思考，實現抽象思維與形象思維的結合，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化. “數”與“形”的相互轉化、相互結合既是重要的數學思想，也是重要的解題方法.

【關鍵詞】 數形結合；有意義建構；數學思想

“畫圖”作為一種解決問題的策略，以直觀、形象地外顯方式，數形結合思想的內在蘊含，把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來進行思考，實現抽象思維與形象思維的結合，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化. “數”與“形”的相互轉化、相互結合既是重要的數學思想，也是重要的解題方法.

現行蘇教版教材以圖文并茂的方式生動地呈現數學信息，使得“抽象”的數學問題趣味化、生活化，更有助于學生分析問題和解決問題. 由此可見，“圖”在小學生的數學學習中有著不可替代的地位和作用.

一、因需而“畫”

著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微. 數形結合百般好，隔離分家萬事非. ”畫圖作為一種學習數學的“武器”，顯現其獨有的價值與妙用. 但不可濫用，只有在學生思維有需要時，才能顯現其“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的豁然意境.

1. “畫”在思維受困時

文字以干練、簡潔的形式傳遞信息，同時也賦予文字豐富的內容. 對于小學生來說，透過文字信息的表層，剖開內層的錯綜復雜，尋找解決問題的金鑰匙，思維常常被困住，此時，另辟蹊徑成為一種迫切需要. 寥寥幾筆的圖示簡明扼要地表達題意，給小學生直觀形象的說明和建構，是一種很好的解決問題的方法.

如蘇教版四年級數學下冊有這樣一題：米行有大米若干袋，第一次賣出庫存的一半多20袋，第二次賣出剩下的一半少10袋，第三次賣出210袋剛好賣完. 米行原有大米多少袋？

通讀題目，不難發現米行原有的大米即是賣出的大米與剩下大米的總和，可是賣出的大米是多少袋呢？一時一籌莫展. 捋捋思緒，我們可以順著題意畫出如下示意圖，定能從中有所感悟.

循著題意的來龍去脈，倘若第二次正好賣出剩下的一半，那么剩下的大米就少了10袋，即200袋，不難算出第一次賣出后剩下的大米共有200 × 2 = 400袋；同理可推，倘若第一次賣出的正好是庫存的一半，那么剩下的大米就應該是400 + 20 = 420袋，顯而易見，米行原有的大米有420 × 2 = 840袋.

紛繁復雜的文字描述或許擾亂了學生的思緒，但凡有了簡明扼要的圖示，學生即能走出困境，理清數量間的相互關系，解決問題的途徑也就水落石出了.

2. “畫”在思辨混淆處

小學生的年齡小，思維極易受到相近知識的干擾，導致思辨模糊不清，更有甚者理解片面化、極端化，產生思維定式. 為了弄清知識的真偽，幫助學生形成正確、條理的認知，畫圖有著不可估量的作用.

如一年級數學中，學習“一個數比另一個數多（少）幾，已知其中一個數，求另一個數”時，學生常常會受思維定式的影響，看到“多”就用加法計算，看到“少”就用減法計算，不明就里的張冠李戴，不僅解決不了問題，反而混淆了對新知的理解和掌握.

例1：手工課上，明明做了12朵紙花，紅紅比明明多做了3朵. 紅紅做了多少朵紙花？

緊鎖題眼“多”，誰做得多呢？是明明還是紅紅？據題意，可選用表示紙花，畫出下面的圖示：

明明：

紅紅：

和明明一樣多的部分 比明明多的部分

形象的圖示讓學生很快找到解決問題的辦法，12 + 3 = 15（朵）

例2：手工課上，明明做了12朵紙花，比紅紅多做了3朵. 紅紅做了多少朵紙花？

和例1相同的條件仍然是“多”，不同的是“多的對象”. 明明比紅紅做得多，紅紅就比明明做得少. 據題意，仍用表示紙花，可以畫出下面的圖示：

明明：

紅紅：

比明明少的部分

原來紅紅做的紙花只有12 - 3 = 9（朵）.

圖示辨析了思維，使學生明了“不是看到‘多就用加法計算，也不是看到‘少就用減法計算”. 思維清晰了，問題解決了，方法也就習得了.

二、因“畫”而明

美國教育家蘇娜丹戴克曾說過：“告訴我，我會忘記；做給我看，我會記住；讓我參加，我就會完全理解. ”學生在思維受困、思辨混淆的時候，畫圖成為學生解決問題的迫切需要，當這種需要通過數形結合的直觀顯現傾瀉在學生的筆下時，學生從中學會梳理，主動進行建構，自然就能獲得能力的提升和拓展.

1. 在“畫”中梳理

畫什么？怎么畫？嚴重影響和制約著問題的解決. 數學的圖是用抽象的符號代替具體的實物，把題目呈現的信息通過圖畫的方式表示出來，即對已知條件和問題進行梳理，梳理的過程也就是思維條理清晰化的過程，問題的解決即初具形態. 如六年級數學中關于“比一個數多（少）幾分之幾”的實際問題，學生常常確認不了單位“1”的量，自然也就形成了南轅北轍的問題現狀. 其實，借助簡單的線段圖邊畫邊梳理已知條件和問題，思維的角度和方向也就明確了，問題的結果也就水到渠成了.

例：圖書角有故事書24本，文藝書的本數比故事書多. 圖書角有文藝書多少本？

梳理已知條件，文藝書的本數比故事書多，故事書的本數是單位“1”的量，也就是比較的標準量；文藝書的本數比故事書多了故事書本數的，即把故事書的本數平均分成3份，文藝書多了這樣的1份，即有這樣的4份. 不難發現，原來文藝書的本數是故事書本數的. 整理線段圖如下：

2. 在“畫”中建構

義務教育課程標準提出：數學教學要在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，讓學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、得到結果、解決問題的過程. 從這個角度講，畫圖不僅為數學表達和交流提供有效途徑，也為解決現實問題提供重要工具，從而實現模型思想的主動建構.

如一年級數學中關于括線的認識. 在數學中，括線用來表示將兩部分或兩部分以上的數據合并成一部分，即加法運算的模型所在. 對于一年級的學生來說，枯燥的概念描述顯然是蒼白無力的，淺顯易懂的圖示反倒有著事半功倍的效果，極好地調動學生的學習興趣，生動詮釋了加法的深刻意義. （如下圖）

圖1中，盤子里有5個蘋果，盤子外面有3個蘋果，一共有8個蘋果. 把左右兩部分蘋果合起來，完成了加法意義的建構.

圖2中，兩部分一共有7個羽毛球，其中左邊有1個，右邊有幾個羽毛球呢？這既是對加法逆運算——減法的理解，同時也是對方程的雛形的感知.

3. 在“畫”中提升

畫圖作為一種解決問題的途徑和方法，不僅可以形象直觀地反映數量間的關系，啟迪學生的思維，而且可以通過“畫”調動學生思維的積極性，提高學生分析問題和解決問題的能力.

如四年級數學下冊“搭配的學問”. 小明買一個木偶娃娃（共3個），再配上一頂帽子（共有2頂）. 小明可以有多少種選配方法？根據日常生活經驗，學生不難說出其中的選配方法，但有些凌亂，顯得無序，且不夠全面. 引導學生發揮圖示的優勢，分別用自己所熟識的符號表示木偶娃娃和帽子，通過不同的組合，就可以輕松而有序地找到多種不同的選配方法. （摘選部分圖示如下）

學生通過畫一畫，深刻體會到圖示對解決問題的重要幫助，選擇不同的符號對題意進行梳理，并能結合自己的“畫”中思考分析問題和解決問題，尋找到問題的結果，同時也是學會、會學、能學的能力體現.

新的課程改革呼喚創新的思維方法，實現學生的“六解放”，即解放孩子的頭腦，使孩子敢想；解放孩子的雙手，使孩子能干；解放孩子的眼睛，使孩子會觀察；解放孩子的嘴巴，使孩子多說；解放孩子的空間，使孩子能到大自然中去學習；解放孩子的時間，使孩子能充分發揮自己的聰明才智. 畫圖作為一種創新的、實用的、可操作的學習方式，給予學生更多想像的空間、表達的機會、提升的高度，真正實現樂學、會學、博學的高屋建瓴的最佳境界.