利用二次曲線極線的性質(zhì)解題

孫志業(yè)

【摘要】 極線的應(yīng)用極其廣泛，其可以解圓錐曲線問(wèn)題，更方便看題目的本質(zhì). 也可以與完全四邊形產(chǎn)生聯(lián)系，方便學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和自學(xué)的同學(xué)利用解析法解決平面幾何問(wèn)題. 同時(shí)，極線的形式是統(tǒng)一而優(yōu)美的，是學(xué)生掌握比較好的切線和切點(diǎn)弦的進(jìn)一步的拓展和統(tǒng)一形式. 本文旨在闡述極線的定義和不同的應(yīng)用形式.

【關(guān)鍵詞】 極線；極點(diǎn)；解析幾何；平面幾何

例1 拋物線y2 = 4x，P（2，2）在拋物線內(nèi)部，AB是斜率為1的直線，與拋物線相交但不過(guò)P點(diǎn).若AP，BP與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C，D.證明：直線DA，CB交于一定點(diǎn)M，并求出M的坐標(biāo).

思路分析 此題可用常規(guī)方法解，即設(shè)出A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)，利用A，P，C，共線，B，P，D共線得到坐標(biāo)間關(guān)系從而得到M點(diǎn).

解 設(shè)A，B，C，D的坐標(biāo)分別，y1，，y2，，y3，，y4，則直線AB的斜率kAB = = = 1，∴ y1 + y2 = 4， = ，y3 - y1， = - 2，y1 - 2，因?yàn)锳，P，C三點(diǎn)共線，所以（y1 - 2） = （y3 - y1）- 2，∵ y1 ≠ y3，

化簡(jiǎn)，得y1y3 - 2（y1 + y3） + 8 = 0 ①

以4 - y2替換y1，得y2y3 - 2（y2 + y3） = 0 ②

同理由B，P，D三點(diǎn)共線，得y1y4 - 2（y1 + y4） = 0.

設(shè)M（m，n），再由A，D，M及B，C，M三點(diǎn)共線分別得到

y1y4 - n（y1 + y4） + 4m = 0 ③

y2y3 - n（y2 + y3） + 4m = 0 ④

將①，②式分別代入③，④式得

（2 - n）（y1 + y4） + 4m = 0，

（2 - n）（y2 + y3） + 4m = 0.

易得m = 0，n = 2，即AD與BC交于點(diǎn)M（0，2）.

這個(gè)題目是大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末考試題目，對(duì)學(xué)生來(lái)講，圓錐曲線的知識(shí)難度大，解題時(shí)運(yùn)算復(fù)雜.此題也可以先設(shè)出特殊直線AB，斜率為1，解出點(diǎn)M，再反過(guò)來(lái)證明所有斜率為1的直線AB都能使得命題成立.但這兩種解法難度都很大，運(yùn)算也繁瑣.

此題實(shí)際上利用的是圓錐曲線的極線和極點(diǎn)的知識(shí)背景.只是并未點(diǎn)破.題目中的點(diǎn)M是P點(diǎn)對(duì)應(yīng)拋物線的極線上的一點(diǎn)而已.極線與極點(diǎn)的概念來(lái)自于射影幾何，但近年來(lái)，以極線作為背景的題目日趨增多.2010年的全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的幾題也是可以利用極線解決的，其推理過(guò)程遠(yuǎn)比直接利用梅涅勞斯定理和圓冪定理簡(jiǎn)單.首先，我們先介紹極線的概念.

一、極點(diǎn)與極線的概念說(shuō)明

（一）二次曲線中極線的定義

設(shè)P為不在二次曲線C上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引兩條割線，依次交圓錐曲線于E，F(xiàn)，G，H，連接EH，F(xiàn)G相交于點(diǎn)N，連接EG，F(xiàn)H相交于點(diǎn)M，則MN為點(diǎn)P關(guān)于曲線C的極線，點(diǎn)P為極線MN關(guān)于曲線C的極點(diǎn).關(guān)于極線的幾點(diǎn)說(shuō)明：

1. 若點(diǎn)P在曲線上，P關(guān)于曲線的極線即為點(diǎn)P處的切線.也就是每個(gè)點(diǎn)都有極線.

2. 按照P不在曲線上的定義，若定義中的EH，F(xiàn)G平行，或者EG，F(xiàn)H平行，則可理解為兩條平行線相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).此時(shí)極線也是和兩平行線平行的.

3. 若過(guò)曲線外一點(diǎn)P可做曲線的兩條切線，則極線同時(shí)也是點(diǎn)P的切點(diǎn)弦所在直線.

4. 若MN為點(diǎn)P的極線，則MP也為N的極線，NP也為M的極線，三角形MNP叫做自極三角形.

（二）二次曲線的極線公式

若二次曲線的方程為Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0，P（x0，y0）為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則P關(guān)于曲線的極線方程為

Axx0 + B（xy0 + yx0） + Cyy0 + D+ E + F = 0.

（三）極點(diǎn)與極線的對(duì)偶性

二次曲線中極線共點(diǎn)于P，則這些極線相應(yīng)的極點(diǎn)共線于點(diǎn)P相應(yīng)的極線，反之亦然.

二、應(yīng)用極點(diǎn)與極線的方程及性質(zhì)解題

例1 解：首先，由二次曲線極線的方程可知，拋物線y2 = 4x點(diǎn)P（2，2）對(duì)應(yīng)的極線的方程為y = x + 2，因?yàn)闃O線斜率與AB斜率相等，所以AB與CD平行，相當(dāng)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)N，點(diǎn)M在直線y = x + 2上.

由極線得定義可知，M的極線為PN，即y = x，反用極線的方程求極點(diǎn)，設(shè)M（x0，y0），y0 = x0 + 2，且y0y - 2（x + x0） = 0就是直線y = x0，對(duì)比系數(shù)可知y0 = 2，x0 = 0，即命題成立，M為（0，2）.

例2 （2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第一題逆命題）如圖，銳角三角形ABC 外心為O，K是邊BC上一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），D是線段AK延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD與AC交于N，CD與AB交于M，求證：若A，C，B，D四點(diǎn)共圓，則OK⊥MN.

解 以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則可設(shè)過(guò)A，B，C，D四點(diǎn)的圓的方程為x2 + y2 = r2，根據(jù)二次曲線極線的方程，P（x0，y0）對(duì)應(yīng)的極線為x0x + y0y = r2.設(shè)點(diǎn)K（x0，y0），則K對(duì)應(yīng)的極線就是x0x + y0y = r2，由極線的定義可知，直線MN就是K的極線，即MN：x0x + y0y = r2. 而直線OK：y0x - x0y = 0，故OK⊥MN.