一道課本習題的兩種變式

杜紅霞

【摘要】 數學變式就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化.即教師可不斷更換命題中的非本質特征；變換問題中的條件或結論；轉換問題的內容和形式；配置實際應用的各種環境，但應保留好對象中的本質因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性.

【關鍵詞】 課本習題；變式

甘肅省教育科學“十二五”規劃2014年度《初中學生數學易錯題分析研究》課題（課題批準號：GS[2014]GHB0668）成果.

人民教育出版社出版的義務教育課程標準實驗教科書《數學》八年級下冊2008年6月第2版2012年10月甘肅第1次印刷 第104頁“拓廣探索”板塊的15題是：

如圖，四邊形ABCD是正方形.點C是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F. 求證：AF - BF = EF.

筆者經過分析后給出如下證明過程.

證明：∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴ AB = DA，∠1 + ∠2 = 90°.

∵ DE⊥AG，∴∠2 + ∠3 = ∠DEA = ∠DEG = 90°，

∴ ∠1 = ∠3.

又∵ BF∥DE，∴ ∠AFB = ∠DEG. ∴ ∠AFB = ∠DEA.

在△ABF和△DAE中，

∠1 = ∠3，∠AFB = ∠DEA，AB = DA， ∴ △ABF ≌ △DAE（AAS）.

∴ BF = AE.

但A，E，F三點共線，且AE + EF = AF，所以AF - AE = EF，即AF - BF = EF.

證明完此題后，筆者又經過仔細的研究找出了該題的兩種變式，現介紹如下.

變式一 如圖1，四邊形ABCD是正方形. 點G是BC延長線上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F. 試探索線段AF，BF，EF的長度之間的數量關系.

解 線段AF，BF，EF的長度之間的數量關系是EF = BF - AF.

證明：用AAS易證△ABF≌△DAE，所以BF = AE.

但A，F，E三點共線，且AF + EF = AE. 所以EF = AE - AF，即EF = BF - AF.

（用AAS證明△ABF≌△DAE的過程留給有興趣的讀者）

變式二 如圖2，四邊形ABCD是正方形. 點G是BC的反向延長線上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F. 試探索線段AF，BF，EF的長度之間的數量關系.

解：線段AF，BF，EF的長度之間的數量關系是EF = BF + AF.

證明：用AAS易證△ABF≌△DAE，所以BF = AE.

但E，A，F三點共線，且EF = AE + AF，所以EF = BF + AF.

（用AAS證明△ABF≌△DAE的過程留給有興趣的讀者）

綜上所述，無論“點G是BC上的任意一點”，或“點G是BC延長線上的任意一點”，還是“點G是BC的反向延長線上的任意一點”，總有明△ABF≌△DAE也就是說：在點G的運動變化過程中總可以找到明△ABF≌△DAE這個不變的關系，這也是此題的動態魅力.

通過對此題的解答我有這樣一點感悟：教材是有限的，思考是無限的.教師要用實、用好、用活所選擇的教材，做到信奉而不唯是，遵循而有所立.