初中學生數學學習中杜絕易錯題的方法

唐小平

甘肅省教育科學“十二五”規劃2014年度《初中學生數學易錯題分析研究》課題（課題批準號：GS[2014]GHB0668）成果.

初中學生在學習過程中由于主觀和客觀方面的原因出現解題方面的錯誤是可以杜絕的.下面通過具體的例子給出杜絕初中學生數學學習中易錯題的方法：

例1 等腰三角形ABC中，∠A = 70°，求∠B，∠C的度數.

錯解 ∵∠A = 70°，∴∠B = ∠C = （180° - ∠A） = （180° - 70°） = 55°.

錯因分析 考慮問題不全面，學生在這里誤認為∠A為等腰△ABC的頂角，沒有考慮∠B是等腰三角形ABC的頂角，從而導致漏解.

正解 當∠A = 70°是等腰三角形ABC的頂角時，由“三角形的內角和定理”和“等邊對等角定理”有∠B = ∠C = （180° - ∠A） = （180° - 70°） = 55°；

當∠A = 70°是等腰三角形ABC的底角，而∠B是等腰△ABC的頂角時，利用“三角形的內角和定理”和“等邊對等角定理”就可以求出∠B = 180° - 2∠A = 180° - 2 × 70° = 40°，∠C = 70°；

當∠A和∠B都是等腰三角形ABC的底角時，有∠B = ∠A = 70°，此時∠C = 40°.

綜上所述，∠B = ∠C = 55°或∠B = 40°，∠C = 70°或∠B = 70°，∠C = 40°.

杜絕錯誤的方法：對于受思維定式（或思維的片面性）的影響，考慮問題不全面，造成漏（少）解或出現增（多）解（根）而出錯的題目，只要考慮問題周全（如用分類討論的數學思想），即把幾種可能性都考慮進去的話，這類錯誤是可以杜絕的.

例2 如果函數y = （m - 2）xm2 + m - 4是二次函數，求常數m的值.

錯解 ∵ y = （m - 2）xm2 + m - 4是二次函數，

∴ m2 + m - 4 = 2，即m2 + m - 6 = 0，∴ m1 = -3，m2 = 2.

錯因分析：不能正確理解二次函數的定義，即二次函數中自變量的最高次數是2，且二次項的系數不為零，錯解中忽略了m - 2 ≠ 0的條件而產生多解.

正解 ∵ y = （m - 2）xm2 + m - 4是二次函數，

∴ m2 + m - 4 = 2，即m2 + m - 6 = 0，∴ m1 = -3，m2 = 2.

∵ m - 2 ≠ 0，∴ m ≠ 2，∴常數m的值為-3.

杜絕錯誤的方法：只要抓住概念的本質，正確、深刻、透徹的理解概念，搞清楚概念的內涵和外延，就可以杜絕這類錯誤的發生.

例3 已知x = 2 + ■，y = 2 - ■，求式子■ - ■■ - ■的值.

錯解 ■ - ■■ - ■ = ■ × ■ = ■×■ = -■×■ = -■.

當x = 2 + ■，y = 2 - ■時，原式 = -■ = -■ = -■ = -■.

錯因分析：不能正確運用完全公式（a±b）2 = a2±2ab + b2，即錯誤地認為（a±b）2 = a2±b2而出錯.

正解 ■ - ■■ - ■ =

■ × ■ =

■×■ =

-■ × ■ = -■.

當x = 2 + ■，y = 2 - ■時，原式 = -■ = -■ = - ■ = -4.

杜絕錯誤的方法：只要記熟完全平方公式的結構特征“首平方，尾平方，首尾的2倍中間放”就可以杜絕這類錯誤的發生.

例4 已知（x2 + y2）2 + 2（x2 + y2） = 15，則x2 +y2 = .

錯解 將原方程變形成[（x2 + y2） + 5][（x2 + y2） - 3] = 0.即（x2 + y2） + 5 = 0或（x2 + y2） - 3 = 0. 所以（x2 + y2） = -5或（x2 + y2） = 3.

錯因分析 由于忽視了x2 + y2 ≥ 0這個隱含條件而出錯.

正解 將原方程變形成[（x2 + y2） + 5][（x2 + y2） - 3] = 0.即（x2 + y2） + 5 = 0或（x2 + y2） - 3 = 0. 亦即（x2 + y2） = -5或（x2 + y2） = 3. 但x2 + y2 ≥ 0，故（x2 + y2） = 3.

杜絕錯誤的方法：對于這樣的題，只要能挖掘出題目中的隱含條件或認真審題的話，這類錯誤是可以杜絕的.

例5 一個商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

錯解 不盈不虧.

錯因分析：習慣思維定式、不尊重客觀事實想當然憑直覺解題，即誤認為一個贏利25%，另一個虧本25%，贏和虧的百分數相同，并且每件都以60元的價格賣出，所以總的贏、虧情況一定是不賠不賺，這中間就忽略了兩件衣服的進價.

正解 設盈利25%的衣服的進價為x元，虧損25%的衣服的進價為y元，則由題意知

60 - x = 25%x，解出x = 48.

y - 60 = 25%y，解出y = 80.

∴總售價 - 總進價 = 60 × 2 - （48 + 80） = -8.

∴賣這兩件衣服總的是虧損8元.

杜絕錯誤的方法：解盈虧問題是利用售價與進價的差值來比較的，所以只要弄清這兩件衣服的進價，然后用總售價減去總進價就可以杜絕這類錯誤的發生.

當然要杜絕初中學生在數學學習中易錯題的發生，并非一朝一夕就能完成，這是一個長期的、復雜的過程，一方面需要老師的反復強調，更重要的是要靠學生自己，因為內因是變化的根據，外因是變化的條件.