《銳角三角函數》易錯題分析研究

雷曉宏

甘肅省教育科學“十二五”規劃2014年度《初中學生數學易錯題分析研究》課題（課題批準號：GS[2014]GHB0668）成果.

《銳角三角函數》是人教版《數學》九年級下冊中很重要的一章，學生在學習這一章內容時常常出現各種各樣的錯誤.現在筆者將學生出現的各種錯誤歸類如下：

一、對銳角三角函數概念理解不正確

1. 把△ABC的三邊長度都擴大為原來的3倍，則銳角A的正切值（ ）.

A. 不變 B. 縮小為原來的

C. 擴大為原來的3倍 D. 不能確定

錯解：C

錯因分析：沒有正確理解銳角三角函數的概念而出錯.

正解：A

事實上，銳角三角函數值是直角三角形中邊與邊的比值.當直角三角形的各邊都擴大（或縮小）相同的倍數時，其三角函數值保持不變.

2. 已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a，b，c且a = 24、b = 7、cosA的值.

錯解：sin A = = ，cos A = .

錯因分析：本題考查銳角三角函數值的求法，即概念.要把握銳角三角函數值必須在直角三角形中，一個銳角三角函數值是邊與邊的比值.而此題沒有明確說明此三角形為何種三角形，這里想當然地去做了.

正解：∵ a = 7，b = 24，c = 25，

∴ a2 + b2 = 72 + 242 = 625 = 252 = c2.

∴ △ABC為直角三角形，且∠C = 90°，

∴ sin A = = ，cos A = = .

二、混淆特殊角的三角函數值

在△ABC中，∠A、∠B滿足|tan A - 1| + cos B - 2 =0，那么∠C = .

錯解 由tan A - 1 = 0與cos B - = 0及特殊角的三角函數值得∠A = 45°、∠B = 30°從而∠C = 105°.

錯因分析 沒有掌握特殊角的三角函數值，學生在學習時易張冠李戴，這種錯誤是知識性錯誤，沒有理解特殊角的三角函數值的來龍去脈.

正解 由題意知tan A - 1 = 0且cos B - = 0，解得∠A = 45°、∠B = 30°，再利用三角形內角和定理得∠C = 180° - （∠A + ∠B） = 75°.

三、對銳角三角函數的性質理解不準確

已知銳角x滿足關系式2sin2 x - 7sin x + 3 = 0，則sin x的值為（ ）.

A. B. 3 C. 或3 D. 4 錯解 由題意得sin x = 或sin x = 3，選C.

錯因分析：根據銳角三角函數的定義及性質，當0° ≤ x ≤ 90°時0 ≤ sin x ≤ 1，0 ≤ cos x ≤ 1、tan x ≥ 0，且正弦值和正切值隨角度的增大而增大，而余弦值卻隨角度的增大而減小，這里沒有考慮三角函數值的取值范圍.

正解 ∵ x滿足關系式2sin2x - 7sin x + 3 = 0，

∴ sin x = 或sin x = 3.

又∵ x為銳角，

∴ 0 < sin x < 1. 即sin x = 3不符題意，必須舍去，故選A

四、將實際問題轉化為數學問題時不嚴密

升國旗時，某同學站在離旗桿底部24米處行注目禮，當國旗升至旗桿頂端時，該同學視線的仰角為30°，若雙眼離地面1.5米，則旗桿高度為 米（用含根號的式子表示結果）.

錯解 如圖AB為人眼離地面的高度，在Rt△AED中∠DAE = 30°，AE = 24，由tan∠DAE = ，解得DE = 8.

即旗桿的高度為8米.

錯因分析 學生犯了想當然的錯誤，缺乏全面考慮問題的能力，沒有認真讀懂題意，這里旗桿的高度應是DE與CE的和，本題應把四邊形的問題轉化為三角形的問題.

正解 如圖，過點A做AE∥BD交CD于點E，在Rt△AED中，∠DAE = 30°、AE = 24、∠DEA = 90°，根據tan∠DAE = ，可得DE = AE + tan∠DAE = 8，

又∵ EC = AB，所以CD = DE + CE = 8+ 1.5，即旗桿的高度為（8 + 1.5）米.

當然《銳角三角函數》一章中的易錯題絕非限于此，在這里就不再一一列舉.