著眼于“數形結合”的運用

莊飛霞

《課程標準（2011年版）》在強調雙基的同時，又增加了數學基本思想和基本活動經驗. 其中，“數學的基本思想”主要指數學抽象的思想、數學推理的思想、數學建模的思想. 這些基本思想在義務教育階段應結合具體的教材內容逐步滲透. 而一個數學思想的形成需要經歷一個從模糊到清晰，從理解到應用的長期發展過程，需要在不同的數學內容教學中通過提煉、總結、理解、應用等循環反復的過程逐步形成，學生只有經歷這樣的過程，才能逐步“悟”出數學知識、技能中蘊含的數學思想. 本文著眼于數形結合思想在教學中的運用談談自己的感受與做法.

“數”和“形”是數學中最基本的兩個概念，在小學數學學科里，有很多重要的數學內容都既有“數的特征”，也有“形的特征”， 數形結合是貫穿于數學教學的一條主線，一方面，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數”、另一方面，運用“數”與“式”來細致、入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長補短，從而順利、有效地解決問題. 數學家華羅庚先生說：“數無形時不直觀，形無數時難入微”， 形象生動、深刻地指明了“數形結合”思想的價值，也揭示了數形結合思想的本質.

一、計算教學——數形結合悟算理

在計算教學中，很多老師認為讓學生理解“算理”比較復雜，意義不大，因此直接告訴學生“怎么算”，省去理解“算理”的教學環節. 這種教學理念是學生只要會算就可以，誠然，這樣的教學模式學生的成績或許并不差，甚至還可能更好. 但這種做法顯然與課標背道而馳，《課程標準（2011年版）》明確指出：數學教學活動要重視過程，突出重點，使學生在過程中獲得成功的體驗，樹立自信心. 計算中的算法是解決問題的操作程序，算理是算法賴以成立的數學原理；因此計算教學中要讓學生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握，學生在感悟算理的同時掌握算法. 義務教育人教版六年級上冊分數乘分數這一內容，教材就做得十分到位.

首先，教材詳細地呈現了第（1）個問題的解決過程：先依據題意列出算式，再通過畫圖的形式幫助學生理解 × 的意義，解決了 × = = （公頃）.

接著，教材仍然通過數形結合的形式解決第（2）個問題： × = = .

（2）種玉米的面積是多少公頃？

公頃的是多少公頃？

× = = （公頃）.

但在實際教學中，讓學生獨立畫圖來分析還是很有困難的. 因此，這一環節的教學采取半扶半放的方式，即先讓學生自己試著畫出圖（有的學生在畫圖時出現混亂，不清楚每次是把哪個量看作單位“1”），再讓學生看圖講解自己的思考過程：用一個長方形表示1公頃的地，平均分成2份，其中的一份就是李伯伯家的公頃地，接著把這一份（即）又平均分成5份（實際是把1公頃地平均分成10小份）取其中的3份，表示 × 即把1公頃地平均分成10份，其中的3份是，再涂上陰影，所以 × = = （公頃）.

最后，教材通過討論總結分數乘分數的計算方法.

計算教學的本質是先算理后算法，這一過程通過長方形圖逐一的表示，讓學生清晰地理解分數乘分數的實質與內涵，“形”直觀地詮釋了“數”，“數”使“形”更加具體. 數形結合，學生表象清晰，記憶深刻，對算理的理解透徹，做到既知其然又知其所以然. 算理通了，算法就順理成章的形成了.

二、概念教學——數形結合解困惑

數學概念是數學大廈的基石，要想大廈蓋得牢，基石就得做實. 每冊教材中的數學概念都非常多，而要想講清概念也絕非易事. 如義務教育人教版五年級上冊求積的近似數教學時，常常遇到的問題：近似數1.20末尾的“0”能去掉嗎？老師們會說：在表示精確度時，小數末尾的0是不能去掉的. 相信很多的老師都是這么直接告訴學生，而許多聽話的學生大多會記住了這一結論：在表示精確度時，小數末尾的“0”是不能去掉的；或者近似數1.20比1.2更精確. 只是這樣解釋也會給學生造成困惑：小數的性質中指出，在小數的末尾添上0或去掉0，小數的大小不變. 為什么在表示精確度時小數末尾的0就不能去掉呢？這樣的問題在我們的教學中隨處可見. 看來，學生對用近似數表示精確度是不甚理解的. 于是，我在教學中先引導學生進行幾個層次的思考：

（1）一個兩位小數，保留一位小數為1.2，這個數最大可能是多少？最小又可能是多少？（生：最大是1.24，最小是1.15）

（2）一個三位小數，保留一位小數為1.2，這個數最大可能是多少？最小又可能是多少？（生：最大是1.249，最小是1.150）

請在數軸上找出這兩個數的取值范圍.

（3）如果一個三位小數，保留兩位小數為1.20，這個三位小數最大可能是多少？最小可能是多少？（生：最大是1.204，最小是1.195 ）

請在數軸上也找出這兩個數的取值范圍.

（4）觀察這兩幅圖，你有什么發現？

（生：近似數是1.2的取值范圍比近似數是1.20的取值范圍大得多，也就是保留的位數越多，所得的近似數就越精確. ）

至此，學生對于在表示精確度時，1.20末尾的“0”不能去掉，就一清二楚了. 經歷過這樣的探究過程，通過數軸的直觀演示，使數與直線上的“點”建立了一一對應的關系，學生對為什么1.20比1.2更精確有了非常直觀而又清晰的理解，頭腦中的疑惑自然解開了. 同時對小數的近似數的意義有了深刻的體驗.

三、解決問題教學——數形結合化直觀

在小學解決問題的教學中，有些題目的描述相當復雜，數量關系也很隱蔽并且相互之間還有交叉，學生理解起來比較費力，需要有一定的分析能力. 這時，如果通過畫圖把題目中的條件和問題直觀地展示在圖上，將抽象的數學問題直觀化，使抽象復雜的數量關系變簡單明了，解題的突破口也就一覽無余了.

義務教育人教版五年級下冊 第六單元 分數的加法和減法 新增“解決問題”的內容，讓學生借助數形結合的畫圖方法分析數量關系、解決問題.

此題的關鍵在于理解樂樂第二次喝了多少杯的純牛奶，也就是解決杯純牛奶的一半是多少？這一問題涉及分數比較抽象，教材旨在讓學生借助數形結合來解決. 教學中，學生畫圖如下：

生1：

學生通過畫圖表示出了樂樂第二次喝的純牛奶與水，將題目的條件通過圖形直觀地加以呈現，找出解決問題的思路和方法，同時也為后面理解分數乘法的意義和解決問題積累一定的方法和經驗. 接著教師再通過下面課件的直觀演示進一步加深學生對這一問題的理解.

最后通過這一幅圖學生很直觀地得出以下結果：

“數形結合”思想在計算教學、概念教學及解決問題教學中所起作用是不言而喻的. 正如著名教育家夸美紐斯在他的《大教學論》中指出：“在盡可能的范圍內，一切事物都應盡力地放在感官的眼前. ”“數形結合”能夠給學生提供了恰當的形象材料，將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路有形化，有利于學生直接地、高效地解決問題. 這一重要的數學思想，也是解決數學問題的有效方法，它是把數學問題中的運算、數量關系等與幾何圖形與圖像結合起來進行思考，從而使“數”與“形”各展其長，優勢互補，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美的統一起來.