解析幾何熱點問題透視

吳洪生

摘 要：高考對解析幾何的考查主要包括以下內容：直線與圓的方程、圓錐曲線等，在高考試卷中一般有1～2道填空題和1道解答題，其中填空題主要考查直線斜率、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關系、圓錐曲線的定義、求標準方程、求離心率等，解答題則主要考查直線與圓、直線與橢圓的位置關系問題，經常在知識的交匯點處命題，考查一些定點與定值、最值與范圍問題或者應用問題等，解析幾何試題的特點是思維量大、運算量大，所以應加強對解析幾何重點熱點問題的研究。

關鍵詞：解析幾何；熱點透視

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）13-094-2

小結：本題考查橢圓的離心率。離心率問題是高考的熱點考點，解決這類問題，首先應考慮運用圓錐曲線的定義獲得必要的數量關系或參數間的等量關系，其次是根據題目提供的幾何位置關系，確定參數a，b，c滿足的等式或不等式，然后根據a，b，c的關系消去參數b，從而可得到離心率的值或取值范圍。

小結：1.本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了橢圓的標準方程的求法，解答此題的關鍵是仔細計算，是中檔題。

2.求最值常見的解法有兩種：①幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決；②代數法，若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立起目標函數，再求這個函數的最值，或用基本不等式求最值。

八、定點與定值問題

例8 平面直角坐標系xOy中已知過點（1，32）的橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F（1，0），過焦點F且與x軸不重合的直線與橢圓C交于A，B兩點，點B關于坐標原點的對稱點為P，直線PA，PB分別交橢圓C的右準線l于M，N兩點。

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若點B的坐標為（85，335），試求直線PA的方程；

（3）記M，N兩點的縱坐標分別為yM，yN，試問yM·yN是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由。

小結：解析幾何中的定點、定值或取值范圍問題，是一類綜合性較強的問題，也是高考對解析幾何考查的一個重點和熱點內容.這類問題以直線與圓錐曲線德位置關系為載體，以參數處理為核心，需要綜合運用函數、方程、不等式、平面向量等諸多數學知識以及數形結合、分類討論等多種數學思想方法進行求解，對考生的代數恒等變形能力、化簡計算能力有較高的要求。

總體來講，解析幾何的研究主要包括兩大類問題，即直線與圓的方程、直線與圓錐曲線的關系問題。常見思路與方法歸納如下：

1.判斷直線與圓的位置關系常見的有兩種方法：

（1）代數法：判別式Δ=b2-4ac>0相交，=0相切，<0相離.

（2）幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系：dr相離。

2.圓的弦長的常用求法：

（1）幾何法：設圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則（l2）2=r2-d22。

（2）代數方法：運用韋達定理及弦長公式：

|AB|=1+k2|x1-x2|=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]。

注意：常用幾何法研究圓的弦的有關問題。

3.求過一點的圓的切線方程時，首先要判斷此點是否在圓上。然后設出切線方程，用待定系數法求解。注意斜率不存在情形。

4.直線與圓錐曲線的關系是解析幾何中一類重要問題，解題時注意應用根與系數的關系及“設而不求”的技巧。研究直線和圓錐曲線的位置關系，一般轉化為研究直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個數，要注意消元后方程的二次項系數是否含參，若含參需討論，同時充分利用根與系數的關系進行整體運算變形。

5.涉及弦的中點問題，可以利用判別式和根與系數的關系加以解決，也可以利用“點差法”解決此類問題。若知道中點，則利用“點差法”可得出過中點弦的直線的斜率。比較兩種方法，用“點差法”計算量較小，此法在解決有關存在性的問題時，要結合圖形和判別式Δ加以檢驗。