提煉“一線三等角” 提升學生解題能力

王海彬

摘 要：“一線三等角”是指三個相等的角在同一條直線上所形成的基本圖形，其本質是應用“一線三垂足”圖形中存在的兩個相似三角形及其一般性質解決實際問題，分析其圖形變式“一線三等角”的存在條件和解題應用，認識“一線三等角”及其圖形變式和特殊形式在初中平面幾何解題中的實際應用。

關鍵詞：一線三等角；直觀體驗；操作領悟；直接分離；靈活構造

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）12-061-2

一、直觀體驗“一線三等角”基本圖形，洞察本質

徐利治先生提出，直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應關系。數學家對直觀包括幾何直觀下了定義。綜合這些定義，我們認為直觀要體現兩點：一是透過現象看本質；二是一眼能看出不同事物之間的關聯。直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。幾何直觀是利用圖形洞察問題本質的一種方式，既有形象思維的特點，又有抽象思維的特點。

從“一線三等角”的特殊情況，即：三個角都是直角在同一條直線上所形成的基本圖形，到三個角都是60度角，再到三個角是45度角，最后到三個角都是一般角，結論仍然成立，再放到具體的圖形中，學生很快就找到了解決的方法。通過從特殊到一般的層層遞進，學生對“一線三等角型”的基本圖形有了一些感覺。通過圖形的不斷變化，讓學生感受到圖形之間的聯系、題目之間的聯系。“三垂直型”的提出是學生感到新鮮的，并將它拓展到“三角相等型”讓學生感受到數學的學習從薄到厚，又從厚到薄的過程。培養學生善于歸納總結，將題目歸類，會用數學思想解決問題。

二、操作領悟“一線三等角”基本圖形，發展思維

《新課程標準（實驗稿）》指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐，自主探究與合作交流時學生學習數學地重要方式。”小學生學習數學是與具體實踐活動分不開的，重視動手操作，是發展學生思維，培養學生數學能力最有效途徑之一。新課程的特點之一，是重視直觀教學，增加了學生的實踐活動和動手操作內容。為此，操作活動成了課堂教學過程中的一個重要環節。

例2 如圖，已知正方形ABCD，把直角三角板的直角頂點放在邊BC上的任一點E處，讓直角三角板繞點E順時針旋轉，使得三角板的

直角邊分別交AB、CD邊于點M、N，則△MBE與△ECN之間有何關系？請說明理由。

變式：把直角三角板點E繼續順時針旋轉，使得直角邊分別交BA的延長線及CD邊于點M、N，上述結論仍然成立嗎？為什么？

在操作過程中加入變式教學有助于學生拓寬視野、加深對“一線三等角”基本圖形的理解、消化；突破課堂教學的重點、難點，提高課堂教學的效益；培養學生多角度認識問題的思維習慣，激勵他們創新、探究能力的發展。

三、直接分離“一線三等角”基本圖形，快速解題

面對一個比較復雜的圖形時，在保持圖形中各元素（點、線、角等）相對位置不變的情況下，提取出原圖的一部分進行分析，從而解決問題的方法就是圖形分離法。分離圖形既是一種有效的解題方法，也是學生空間觀念的重要組成部分。在圖形教學中適當地運用“分離圖形”的方法會收到事半功倍的效果，從這個意義上說，圖形分離法也是一種教學方法。

能否靈活地運用“圖形分離法”解題，首要前提就是看學生是否掌握基本概念，是否準確把握基本圖形的特征。

在初中數學圖形內容的教學中，運用“圖形分離法”提高教學效果的例子不勝枚舉。但應該注意到“圖形分離法”的運用要適度，要有明確的目的，有時結合“圖形的組合”進行訓練效果會更好。

四、靈活構造“一線三等角”基本圖形，提升能力

從幾何圖形中直接分離出基本圖形，運用基本性質相對容易，而如何從幾何圖形中構造出基本圖形進行運用，才是難點所在.為此必須先仔細觀察圖形、研究圖形的結構特點，結合已知條件或者所求、所證的內容，才能靈活構造出能解決問題的基本圖形。

例4 如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=4，在AB邊上取點G，現將紙片沿EG翻折，使點A落在CD邊上的點F處，當AE=3時，求BG的長。

研究幾何題，經常需要給圖形添設輔助線，添設輔助線的實質在于構造基本圖形，以便將復雜的問題化簡，將隱蔽的關系明朗化，將分散的元素相對集中，從而找到一種解題途徑。同時，設計基本圖形的構造，有時還需配合使用聯想、代換、轉化等數學思想方法。

以上例子主要是提煉“一線三等角”基本圖形，提升學生解題能力，我們學習幾何基本知識，主要是學會抽象、分析、解決問題的依據、方法，在實際運用中逐步培養學生抽象思維、邏輯思維及推理論證的能力。而各種思維能力培養和發展的基礎是基本的幾何定義、定理、公理及其推論等基礎知識，幾何基本圖形的教學在初中幾何教學中有著舉足輕重的地位和作用。

1.導向功能：幾何基本圖形具有概括性的特點，對學生由形象思維發展為抽象思維具有很強的導向功能。通過基本圖形的教學，學生在記憶中形成幾何圖形的基本框架，這樣日積月累，為學生的形象思維到抽象思維，再到邏輯思維奠定堅實的基礎。

2.系統化功能：一個基本圖形就代表一個知識點，由若干知識點組成一個單元知識體系。因此，只要學好了基本圖形，就自然將所學幾何知識分成了若干類。特別是在復習、梳理系統知識的時候，就可以用幾何基本圖形及相應的符號語言來將所學知識系統化，這樣既直觀又形象，便于學生直觀形象地理解知識的聯系與內涵。

3.簡化功能：第一，表現形式的簡單、簡明化，易于學生掌握、記憶；基本圖形都是用簡潔明快的線條和必要的幾何符號語言來表述文字內容的，因此便于學生形成“數型”結合的思想，也便于學生形象直觀的理解、記憶、運用知識，從而提高學習效率。第二，運用基本圖形可以將復雜圖形進行分解，使之分解為若干個簡單圖形（基本圖形），從而使解題依據更加明確，解題思路更加明晰。這樣使解決問題的難度得以降低，達到“化繁為簡”和快速解決問題的目的。由此可見，幾何基本圖形的教學在初中幾何教學中有著不可低估的地位和作用。

在中考試題中，動態型問題是綜合性較強的試題，經常以壓軸題的形式出現，但它仍然是以平面幾何圖形為背景，“數形結合”是解決此類問題的關鍵，其中“形”的快速把握就要歸功于“基本圖形”的有效提煉。