突出概念建構，關注思維培養

楊帆

摘 要：“直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況”這一知識點，在教材中起著承上啟下的作用。本文探討的重點是如何引入并深刻理解線面垂直的定義，并通過直觀感受，操作確認得到直線與平面垂直的判定定理。

關鍵詞：線線垂直；任意；線面垂直；相交

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）12-079-1

一、課堂實錄

1.創設情境，建構定義

回顧舊知，引入課題

[問題1] 直線和平面有幾種位置關系？

[問題2] 在這些圖中，有沒有直線與平面相交的位置關系呢？

[問題3] 你怎么判斷直線與平面垂直的呢？

師生活動：讓學生舉例生活中有哪些線面相交的位置關系，并為最特殊的一種線面相交命名，并讓學生利用手中的工具擺出“線面垂直”的情形，學生能初步說出自己如何判斷“線面垂直”。

設計意圖：讓學生通過操作、聯想、感知“線面垂直”是線面相交的一種特殊情況，并讓學生直觀感受判斷線面垂直的方法。學生初步錯誤判斷只要一條直線垂直于平面內的一條直線，則直線垂直于平面。

2.創設情境，啟發定義

情境 請同學們觀察比薩斜塔圖片。

[問題4] 為什么感覺斜塔是斜的？

[問題5] 那地面上有沒有一條直線與比薩斜塔垂直呢？

[問題6] 那“不斜”，也就是“垂直”的判斷標準是什么？

[問題7] “所有”直線是指哪些直線呢？

師生活動：借助“比薩斜塔”的“斜”從反面啟發定義，請學生刻畫出斜塔與地面不垂直的原因，體會到“線面垂直”的特征。

設計意圖：“比薩斜塔”的“斜”是因為地面上可以找到一條直線與它不垂直，而“不斜”則是在平面內找不到一條直線與已知直線不垂直，即平面內所有直線都與已知直線垂直。從而得知之前學生的判斷“如果一條直線與平面內一條直線垂直，那么這條直線垂直于平面”是不精確的。

3.認識定義，鞏固深化

[問題8] 請你給“直線與平面垂直”下個定義。

思考：

（1）如果一條直線與平面內無數條直線垂直，那么這條直線垂直于平面嗎？

（2）如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內的所有直線嗎？

師生活動：辨析定義，提出“能用‘所有與‘無數替換‘任意嗎？”；通過討論問題“如果一條直線與平面內無數條直線垂直，那么它與平面垂直嗎？”，進一步認識定義，體會定義中“雙向敘述”的功能。

設計意圖：通過對關鍵詞“任意”的分析，讓學生深刻體會到“無數”并不等價于“所有”，這個辨析過程也為判定定理做了鋪墊。

定義中既體現了由“線線垂直可以定義線面垂直”，同時也體現了“線面垂直可以得到線線垂直”——即平面的垂線垂直于平面內的任意一條直線，這也是判定線線得垂直的方法之一。

二、操作驗證，感知判定

[問題9] 在實際操作中，你如何判定一條直線與平面垂直？

師生活動：學生發現在平面內找任意一條直線與已知直線垂直并不好操作，從而激發學生尋求判定線面垂直的新方法。讓學生思考討論，請多個學生給出判定直線與平面垂直的方法。師生共同討論，根據已有知識和經驗，排除錯的判定方法，猜想正確的方法。學生能夠猜想到：一條直線垂直于平面內的兩條相交直線就可以得到這條直線垂直于這個平面。

設計意圖：用定義直接判定直線與平面垂直是十分困難的，因為難以做到對平面內每一條直線都一一檢驗，所以有必要尋求一個便捷的判定方法，從而引發學生思考。

三、確認猜想，形成定理

1.操作試驗

師生活動：學生帶著猜想，通過實驗：“（1）怎樣將一本書立在桌面上，使得書脊能與桌面垂直？這樣的書至少需要幾頁呢？（2）將手中的練習紙折疊，折痕滿足什么條件，折痕與桌面垂直？”進行動手操作，確認猜想。

設計意圖：直線與平面垂直的判定定理不需要證明，只需要通過生活中的實例，直觀感知并操作確認，學生更容易接受。

2.形成判定

師生活動：由學生總結線面垂直的判定定理，并用文字語言、圖形語言和符號語言表示“直線與平面垂直”的判定定理。

設計意圖：通過試驗操作確認，進一步增強學生的直觀感受的同時進行理性思考，最終形成定理。接著要求學生用三種語言表示它，認識定理。

[問題10] 與直線與平面垂直的定義相比，判定定理的優越性在哪里？

[問題11] 現在判斷線面垂直有哪些方法？這兩種方法有什么共同點？

設計意圖：讓學生感悟到由“無限化為有限”的思想方法。通過問題11，讓學生體會“線面垂直化為線線垂直”，“降維轉化”的思想方法。

四、例題講解，鞏固新知

[問題12] 在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：（1）AC⊥平面BDD1。（2）求證：AC⊥BD1。

師生活動：學生分析條件以及要證明的結論，合理選擇方法，教師板書示范解題過程，并引導學生歸納。

設計意圖：利用所學知識解決直線與平面垂直的有關問題，體會轉化思想在解決問題中的應用。

五、小結回授，感悟數學

[問題13] 本節課你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述。

[問題14] 這節課我們學習了哪些數學思想方法？

設計意圖：以問題討論的方式進行小結，培養學生反思的習慣，鼓勵學生運用自己理解的語言對問題進行質疑和概括。