小學數學“雞兔同籠”問題解法探析

莊曉銘

摘要：“雞兔同籠”是一道古代趣題，今人新創的解題法各不相同。本文介紹了“雞兔同籠”解題法中隱含的數學思想，分析了不同解題法的過程，挖掘“雞兔同籠”解題過程隱含的數學思想，提倡教師在教學過程中注重數學思想的滲透，以此培養學生的數學思維能力，促進學生數學素養的全面提升。

關鍵詞：小學數學 ? 雞兔同籠 ? 解法探析

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.02.028

“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四腳，問雉免各幾何？”這就是著名算術題“雞兔同籠”，這道源自古代《孫子算經》的趣味題經過千百年來無數算術愛好者和教育人士的研究，其解題方法得到了極大的豐富，而其內涵也不斷地延伸。現代人研究“雞兔同籠”的目的已不僅僅局限于具體的解決辦法，而是通過“雞兔同籠”實現數學思想的滲透，學會以數學的眼光看待世界、解決問題。

一、“雞兔同籠”解題法中隱含的數學思想

解決“雞兔同籠”的辦法有很多，既有古代流行的抬腳法，也有現代人新創的猜想法、列表法、圖畫法、假設法、建模法、方程法等。“雞兔同籠”的多樣解題法彰顯了數學思想在數學教育中的重要地位。作為教師，我們需要深入研讀教材，把隱含在課本公式、習題間的數學思想準確地提煉出來，在課堂教學過程中潛移默化地引導學生感悟，促使學生嘗試運用數學思想分析與解決問題。

二、“雞兔同籠”解決法分析

（一）猜想法

也可稱為湊數法，即讓學生根據題目中提供的“頭”的數量先猜雞與兔的數量，再通過題目提供的“腳”的數量予以印證。在此過程中，學生會慢慢領會“若雞與兔的腳數量猜測得多，則應該增加雞的猜測數量而減少兔的數量。反之，若是腳的數量少了，就要增加兔的猜測數量而減少雞的數量。在這種不斷修正猜測結論的過程中，學生自主學習的積極性得到提高，慢慢變得大膽，思路也更加開闊。

（二）列表法

列表法可以看作是猜測法的延續，將猜測的數值按照一定順序（一般是從小到大）排列為表格，根據表格數據可以發現規律“雞的數量減少一只、兔的數量增加一只的情況下，腳的數量就會增加兩只”。在現實生活中，當一些問題暫時不能找到最恰當的數學模型時，以列表的辦法往往能夠得到結果，這也為后面的數學建模奠定了基礎。

（三）畫圖法

畫圖法是最直觀形象的辦法，首先畫出35個頭與94只腳，然后先給所有的頭配上兩只腳，接著將多出來的24只腳加在其中的12個頭上，答案出現。通過上面畫圖的過程，新的解題法——假設法已經初步呈現。畫圖在小學生的數學學習過程中是一個十分必要也相當有用的辦法，學生在動手繪圖的過程中能夠逐漸領悟解題思路，在一定程度上拓展想象空間，從而體會的掌握其中的數學思想。

（四）假設法

新課程標準的提示內容中有“假設籠子里全是雞，則全部的腳的數量就應該是70只，這會多出24只腳，一只兔子比一只雞多兩條只腳，則24÷2=12，這就是兔子的數量，那么雞就有23只”。根據這種提示，學生可以反向思維：“如果籠子里全是兔子，那就應該有140只腳，這樣就少了46只腳，一只雞比一只兔子少兩只腳，46÷2=23，這是雞的數量，那么兔子就是12只。”

假設法解題相對于之前幾種解題法而言更加快捷迅速，并且有利于促進小學生創新性思考能力的發展。但假設的方向一定要正確，假設的目標對象必須順應題目而非自相矛盾，否則不僅得不到正確答案，反而會讓解題人陷入混亂。

（五）建模法

這種辦法是在假設法的基礎上得到的，在“假設”的過程中，學生可以得出以下規律：“雞的數量=（所有頭的數量×4-所有腳的數量）÷（4-2），兔的數量=（所有腳的數量-所有頭的數量×2）÷（4-2）”。這個規律就是一個數學模型。這個模型可以解決所有與“雞兔同籠”問題類似甚至有所擴展的問題。建模法已經是一種相對成熟的解決現實問題的常用數學思想方法，該法從“形”和“量”的角度分析現實問題，以相對簡化了的抽象形式確立解題參數與參量，結合數學定理（定義）將現實問題與之關聯，此時，一個數學（或現實）問題就成為一個極簡的數模。小學生對于建模的問題相對難以理解，但教師應當嘗試讓學生初步對建模產生大致的印象，從而為后續的深入學習做好鋪墊。

（六）方程式解題法

方程式的應用在四年級已有了初步的認識，這種方法也是使用最廣泛和最便捷的數學思想方法之一，具體到“雞兔同籠”的問題，可以設兔的數量為X，雞為Y，則雞頭數量則為35-X，那么，兔子的腳就是4X，雞腳就是2（35-X），則方程式為4X+2（35-X）=94，解X=12，Y=23。

方程式作為解決現實問題最有效的數模，具有直接、簡便、以易解難的優勢，其在現代社會各行業均有廣泛應用，此法的應用重點在于將問題中的已經量與未知量通過列方程建立起關聯，最終通過已知量計算得到未知量，此即為方程式思想方法的由來。

三、通過分析“雞兔同籠”教會學生數學思想

從上述猜想法到方程式法不難看出，這些由淺及深的數學思想方法之間存在著層層遞進、由具象到抽象、由低層級往高層級發展的關聯。粗看之下，“猜想、列表、畫圖”顯得幼稚，似乎很“笨”，而且一旦頭和腳的數量上了百只，那么僅在畫圖表上耗費的時間就已經無法想象，更遑論后續的解題措施。然而，這些略顯笨拙的解題法作為小學生學習數學思想的必然過程卻是必不可少的，正因有了這些“笨”辦法，才為后面的假設、建模與方程式奠定了基礎。教師需要通過這樣循序漸進的教學方法化繁為簡，進一步讓學生明白所謂的“笨”辦法與后面精煉簡潔的數模之間其實有著千絲萬縷的聯系，從而讓學生了解“數學思想之間并非孤立存在”的深刻內涵。

四、結束語

分析“雞兔同籠”的目的在于讓小學生掌握不同數學思想的內涵，教師應充分挖掘與延伸“雞兔同籠”的潛在價值，引導小學生領會及掌握不同數學思想方法間的聯系，為更高層級的學習奠定堅實的基礎。

參考文獻：

[1]謝清霖.親歷問題解決過程 深入感悟數學思想——“雞兔同籠”問題蘊涵的一些數學思想方法教學例談[J].小學數學教育，2013（2）.

[2]邵麗芳.用列表法解決“雞兔同籠”問題的教學實踐與反思[J].教學月刊小學版：數學，2011（12）.