數學認知結構及建構策略

陳立

【摘要】從認知結構理論以及在四邊形教學中發現的問題出發，結合四邊形的相關知識，分析出了四邊形認知結構的特點.在此基礎上，進一步給出了教師幫助學生建構良好的認知結構的五個策略，并以四邊形教學為例做了分析說明.提出了對于認知結構可能存在的負面影響的思考.

【關鍵詞】圖式；數學認知結構；四邊形；教學策略

一、引 言

“學生學習數學的過程實際上是一個數學認知的過程，在這個過程中，學生在教師的指導下把課程教材知識轉化為自己的數學認知結構”.“數學認知結構，就是學生頭腦里的數學知識按照自己的理解深度、廣度，結合著自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等認知特點，組合成的一個具有內部規律的整體結構”.

初中數學“四邊形”教學是初中幾何教學的重點.研究者發現，學生在解決一些綜合性較強的題目時感到無從下手.結合認知結構主義理論，針對四邊形教學，研究者有了一些思考.

二、 四邊形認知結構的特征

“四邊形認知結構”是一個幾何認知結構，它和一般的數學認知結構有著明顯的差異，類比四邊形的認知結構，其有如下特征：

（一） 知識性

數學的知識結構不等于數學認知結構，數學認知結構既包涵數學的知識結構，也包涵主體的主觀意識，這里的主觀意識又包括感覺、思維、策略等等.“四邊形認知結構”作為數學認知結構的一種，其知識性特征也就不言而喻.

（二） 系統性

“四邊形認知結構”是一個大的系統，它是由許多小的認知結構綜合而成的，既包涵學生對點、直線、線段、角、平面等基本幾何構成元素的認識；也包涵對平行線與相交線、三角形等一些已經學習過的幾何知識的認識；還包涵對在本章中學習到的平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等幾何基本圖形的認識.

（三）層次性

“四邊形認知結構”的層次性主要是由四邊形知識結構內部的層次性和邏輯系統性決定的，從原則上講，四邊知識結構有什么樣的層次，四邊形認知結構就有什么樣的層次.從知識結構上講，最底層的應該是點、線、面、角等幾何基本構成元素所形成的小的數學認識結構；第二層是后面學習到的平行線與相交線、三角形、軸對稱等認知結構；第三層就是平行四邊形、矩形等常見四邊形認知結構.

四、“四邊形認知結構”的建構策略

如何幫助學生建構良好的四邊形認知結構呢？研究者認為，可以從如下幾個方面進行：

（一） 熟悉學生原有認知結構

奧蘇貝爾認為指新的材料必須要與原有的認知結構發生聯系來能形成新的認知結構.在學習新知識之前，教師可以通過提問、課前作業、測驗、個別談話等方式去了解學生是否具備了相關的觀念，從而熟悉學生已有的認知結構.比如，在學習多邊形的定義之前，老師可以去了解學生對三角形定義的掌握情況.

（二）創設“自然”的問題情境

“自然”意思就是問題情境要是學生所熟悉的，最好是從學生熟悉的生活情境和生產實際的角度去創設問題情境.奧蘇貝爾認為意義學習的另一個條件就是學生要積極的從原有認知結構中提取適當的“圖式”去同化新材料.這就需要教師創設良好的問題情境，激活學生原有的認知結構.

（三）注重知識的整體性

數學是一門結構化的學科，四邊形的知識也是一個充滿聯系的整體.在四邊形教學中，教師要以整體觀念為指導，隨時把它與其他內容聯系起來去理解與掌握，使學生在頭腦里形成一個知識網絡，這樣才有利于學生良好認知結構的形成.

（四）突出數學的思想方法

在四邊形的教學中，比較突出的數學思想方法有很多，面對新的幾何圖形，我們首先可以采用觀察的方法；對幾何體的性質，我們可以通過大量的例子進行歸納，然后作出猜想，最后再證明；解決幾何問題，分析的方法是必要的，由未知到已知，然后我們再用演繹的方法進行證明，由已知到未知，等等.

（五）引導學生對“四邊形認知結構”進行修正與鞏固

進行修正的前提是要讓學生發現錯誤，研究者認為發現錯誤的一個非常好的方式就是變式訓練.通過變式練習的犯錯讓學生真正的明白概念、定理的本質，不僅僅停留在表面的層次.變式練習的第二個優點就是可以使學生的認知結構更加的精細，讓每一個知識點都能有一些分支，可以鞏固已經形成的認知結構.在四邊形的學習過程中，綜合性幾何題對于學生認知結構的鞏固有著至關重要的作用，特別是在梯形學習之后，通過在梯形中添加不同的輔助線，梯形就可以將前面我們學習的所有的特殊四邊形嵌套進去.

四、結論與思考

數學學習的過程其實就是學生建構自己的數學認知結構的過程，所以幫助學生建立良好的認知結構成了教師必須去完成的任務.

良好的數學認知結構有許多的優點，但并不是說就沒有缺點，首先，由于認知結構在學習新材料時發揮著十分重要的作用，在新材料的學習過程中，學生往往不能夠很好的激活原有認知結構，或者是激活不恰當的認知結構，可能會對認知活動造成消極的影響.其次，學生常常表現出對于模式的執著，而根本不去顧及其是否適用于所面臨的場合，因此可能造成嚴重的障礙，如何解決這樣的問題也是有待進一步研究的問題.