巧妙入門，走進立體幾何的趣味殿堂

顏艷

立體幾何是高中數學當中的重要組成部分，甚至可以算是一個標志性內容.對于這部分知識，學生們的學習狀態常常會呈現出較為明顯的兩極分化.有的學生認為，立體幾何知識非常容易掌握，考試當中的立體幾何問題往往都是送分題.然而，有的學生則將立體幾何視為一座難以跨越的高山，總是觀察不出位置關系，找不到解題方法.實際上，只要把握住了立體幾何的基本知識與思維方法，巧妙入門，對其進行掌握并沒有那么困難.

一、觀察圖形，培養空間想象能力

學習立體幾何的基礎不是那些具體的概念和性質，而是感官上的空間想象能力.如果不具備這個基本前提，又何談從圖形當中發現解題線索，并在圖形的指引下開展探究呢？很多存在學習困難的學生都表示，常?？床怀鰜韴D形當中線、面之間的位置關系，這就是空間想象能力出現了問題.這也是教師在帶領學生們步入立體幾何世界時，需要首先解決的問題.

例如，剛剛開始學習立體幾何時，我便從一些基本和規則的圖形開始，帶領學生們進行觀察，由圖形讀出其中的空間含義.同時，我還鼓勵學生們自己動手畫出立體幾何圖形，從比較簡單的正方體、長方體，到復雜一些的球形、四棱錐等等.我還會不時地讓學生們完成類似這樣的習題：向倒置的正三棱錐容器內放入一個球，使其與容器四面均接觸.過一條側棱和高作截面，能夠出現下列哪個圖形？空間想象能力的培養，從不斷地圖形觀察開始.

空間想象能力就像是立體幾何學習過程當中的一門通用語言，只有具備了這個能力，才能談到接下來的知識學習.眾所周知，立體幾何的內容呈現是離不開圖形的，因此，會讀圖，做到會學習.知識入門階段是空間想象能力建立的關鍵時期，教師一定要予以重視并牢牢把握，為接下來的教學奠定堅實基礎.

二、立足教材，夯實基礎性質定理

帶著充分的空間想象能力，我們就可以帶領學生開始具體知識的學習了.同其他內容的教學一樣，基礎知識是展開教學的必經之路.在立體幾何教學當中，教師應當將學生們的初步關注重點集中在基本的性質定理之上.一方面，性質定理是學生們解決立體幾何問題有效和直接的工具.另一方面，深入體會理解性質定理，也能夠幫助學生強化知識體驗，沿著合理方向啟發思維.

例如，三垂線定理是立體幾何當中非常重要的定理之一，因此，在這個內容的教學過程當中，我對于其內涵細節進行了著重剖析.從文字的表面含義入手，應當看到該定理的應用，即證明兩條直線垂直，特別是在需要證明兩條異面直線垂直的情況下.另外，還要找到應用這個定理時的關鍵點，即抓住平面與平面的垂線之間的關系.我還為學生們總結了一句順口溜：“一個平面四條線，線面垂直是關鍵”.只有將定理理解到這個程度，才是將基礎夯實了.

這個階段的教學，并不需要教師花費過多的精力進行拓展，而是應當聚焦教材，對于教材當中出現的每個基本性質定理，進行深入挖掘和細致闡釋，夯實知識基礎.具體說來，可以從兩個角度進行把握：首先，理解性質定理，即透過精煉的數學語言，對其內涵進行全面理解.其次，運用性質定理，只有在具體問題的解答當中能夠迅速、準確地將相應性質、定理進行應用，才是真正的掌握了.

三、總結規律，形成問題解答體系

掌握了基本知識之后，接下來，就是對于立體幾何學習進行提升的階段了.雖然立體幾何的問題內容與形式千變萬化，但是，隱藏在其背后的解題思路與方法卻并不那樣繁雜.也就是說，只要掌握了典型的解題思維規律，便能夠以不變應萬變地解決各種立體幾何問題了.這也足可以見得，問題解答思維體系的形成是何等重要.

例如，我曾要求學生們完成這樣一道習題：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長是1，點P是側棱CC1上的一點，且CP的長為m.若PA與面BB1D1D所成的角的正切值是32，求m的值.另外，A1C1上是否存在定點Q，使得對于任意的m都有D1Q在面PD1A上的射影與PA垂直.我先采用單純的幾何方法進行了推導，通過構造輔助線（如下圖右）找到線面角，并根據三垂線定理進行求證.隨后，我又借助空間直角坐標系的方式（如下圖左），從坐標與向量的角度進行量化計算求證.這兩種解答方法不是憑空出現的，而是從幾何與代數的不同思維角度出發進行的具有方向的思考.

很多教師在立體幾何教學中，都會陷入一個思想誤區，認為解題思路的規律性總結是知識內容全部教學完成后要做的事，而非知識入門階段的任務.這是有所偏頗的.數學思想方法貫穿于整個高中數學學習過程中，它是數學學習所必備的習慣性思考，它在學生們的頭腦當中建立形成，也不是一蹴而就的.因此，隨著知識的入門教學，教師就需要開始有意識地引導學生關注思想方法，進行有效總結，并逐步養成思維習慣了.

正所謂，難者不會，會者不難，這句話在立體幾何當中體現得尤為明顯.對于立體幾何學習來講，什么叫做“會”？筆者認為，第一，要從感性上具有一定的空間想象能力，這是感知立體幾何的前提基礎.第二，要熟練掌握教材上所出現的各種性質和定理，這是分析立體幾何問題的有力武器.第三，要站在基礎知識之上，對于問題的解答過程進行提煉總結，找到其中的規律，指導同類問題的思考探究.按照這樣的思維順序，將學生帶入立體幾何的大門，相信定會讓每名學生輕松接受，感受趣味.