數學概率問題與求解方法的若干研究

杜軍

【摘要】數學概率問題與生活實際存在著緊密關系，是研究與解決隨機現象的重要科學.概率問題與不等式、函數與統計學等數學知識存在著交匯，通過對數學概率問題的認知與求解，可以考查學生應用概率知識分析與解決問題的能力.當前，高職院校學生學習與掌握數學概率問題時存在一定困難，為了讓學生更好地理解與掌握，本文結合實際案例對概率問題及求解方法進行分析.

【關鍵詞】數學；概率問題；求解方法

一、數學概率問題的兩個核心問題認知

（一）等可能事件

以一個簡單例子為引，拋兩枚硬幣，出現結果事件包括三種情況：兩個反面朝上、兩個正面朝上、一個正面朝下與一個正面朝上.依據這種情況進行直接進行計算則分析出兩個正面朝上的概率為1[]3.然而事實并非如此，因為以上三個基本事件并非等可能事件，即一個正面朝上與一個正面朝下情況發生的可能性大于兩個正面朝上發生的可能性，拋硬幣其結果事件包括四種，即：（正，正）、（反，反）、（正，反）、（反，正），從而計算出兩個硬幣朝上發生的概率為1[]4.

（二）互斥與獨立事件

明確事件所具備的特征是識別互斥事件與相互獨立事件的關鍵.等可能事件關注的是一個事件，而互斥事件與相互獨立事件則關注的是兩個事件之間的關系問題.互斥事件所具備的特征為：互斥事件是對兩個事件存在的關系問題進行研究，要求所研究的兩個事件是在同一次試驗情況中存在，試驗結果不可能同時出現這兩個事件，即說明兩個事件互斥；相互獨立事件特征為：相互獨立事件是對兩個事件之間所具備的關系問題研究，一個事件發生不會對另外一個事件產生任何影響，則說明兩個事件為相互獨立事件.互斥事件指明在同一個試驗環境中不可能同時發生兩個事件，而對立事件則在明確不可能同時發生兩個事件的基礎上，還要求必須發生一個事件.

二、數學概率問題求解的方法分析

（一）綜合分析前后聯系，重視并處理好排列組合關系

進行數學概率問題求解，多要求學生對排列組合進行思考.如安排A、B兩人參與英語競賽，共做10道題，其中有4道判斷題6道選擇題，A、B兩人依次抽取題目，求解A抽到選擇題，B抽到判斷題的概率是多少？

正確解法為：A抽到選擇題與B抽到判斷題的可能結果共有C16C14個，A，B依此抽一題，可能結果為：C110C19，基于此進行求解，則A抽取到選擇題、B抽取到判斷題的概率求解為：C16C14C110C19，求解結果為415.

（二）概率概型識別及應用

1.古典概型

古典概型特征表現為：在每一次試驗中，所可能出現的試驗結果存在著有限性，且每個結果出現的可能性是相等同的.將一個試驗環境下可能出現的所有結果數量設定為n，事件A包含結果數量設定為m，則事件A發生的概率計算公式為：P（A） =mn.古典概型在應用中，突出結果有限性與事件發生等可能性.如共有10部手機，其中7部手機為合格品，3部手機為次品，從10部手機中抽取3部手機，每部手機被抽取到的可能性相同，對抽到1部次品手機的概率進行求解，則可以通過古典概型進行計算求解，則有：P（A）=C13C27C310.

在古典概型教學中，可以提出相應問題并引導學生積極思考與發現問題，通過交流與認識掌握古典概型特征，并學會類比與推導古典概型概率計算公式.

2.幾何概型

幾何概型特征主要表現為：每次試驗其結果事件存在著無限個，每個結果事件的產生與事件區域長度存在著關聯.其知識點公式為：

P（A）=構成事件A的區域長度（面積或體積）[]試驗的全部結果所構成的區域長度（面積或體積）

幾何概型可以看作是古典概型的補充，可以通過直接計算法與引進變量法等方式實現求解.

3.超幾何部分

超幾何分布概型特征表現為：總體數量設定為N個，從N中抽取n個，將不合格數量設定為M個，抽取可能性相等，則抽取到不合格r的概率則可以通過下面公式來求解：

P（X=r）=CrMCn-rN-MCnN.

4.條件概型

條件概型特征表現為：在這種模型下，事件B發生是確定事件，在B確定發生的基礎上A才會發生，依據這種條件進行計算第二次發生B事件的概率，則有：

P（A/B）=P（AB）P（B）.

此外，在求解數學概率問題時，學生還應掌握一定的數學思想方法，如等價轉換思想、集合思想等，通過挖掘數學思想方法也可以對概率問題有效解決.

三、結 語

數學概率問題與生活實際聯系緊密，學習與掌握數學概率問題求解，不僅可以提高高職院校學生應用概率知識分析解決問題的能力，還可以提高學生掌握知識的興趣及動力.在學習過程中學生應充分重視數學概率問題，綜合分析前后聯系，重視并處理好排列組合關系，分析實際選擇合適的概率概型，有效解決數學概率問題.