對(duì)一道圓錐曲線題學(xué)生錯(cuò)解的思考

廖開燦 湯強(qiáng) 張波

【摘要】圓錐曲線是高中生必學(xué)和高考必考的內(nèi)容.通過(guò)對(duì)圓錐曲線內(nèi)容的學(xué)習(xí)，高中生能夠擴(kuò)展自己的知識(shí)領(lǐng)域，并加深對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的理解.對(duì)一道看似簡(jiǎn)單但學(xué)生易錯(cuò)的圓錐曲線題的辨析，有利于教師把握學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的難點(diǎn)、障礙點(diǎn)，進(jìn)而推進(jìn)教學(xué)的針對(duì)性.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；錯(cuò)解

1.一道圓錐曲線問(wèn)題的學(xué)生錯(cuò)解

實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓x2+y2-2ax+a2-1=0與拋物線y2=12x有兩個(gè)公共點(diǎn)？

解 x2+y2-2ax+a2-1=0y2=12xx2+12-2ax+a2-1=0，12-2a2-4a2-1=0，得a=178.

2 學(xué)生錯(cuò)解分析

此題中學(xué)生的錯(cuò)誤有以下幾處：

（1）聯(lián)立后得到的方程x2+1[]2-2ax+a2-1=0漏掉了x的范圍x≥0；（2）判別式運(yùn)用不當(dāng)；（3）書寫不規(guī)范.

顯然，（1）的錯(cuò)誤是由于學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)“y2=12x”所蘊(yùn)含的“x≥0”這個(gè)條件，學(xué)生的邏輯思維欠缺導(dǎo)致的，這個(gè)錯(cuò)誤可能會(huì)導(dǎo)致a可以取得更多的值.（2）的錯(cuò)誤在于該生沒(méi)弄清聯(lián)立后的這個(gè)含參的一元二次方程應(yīng)該有幾個(gè)解，有幾個(gè)什么樣的解.該生只知道解這類題的大致思路和步驟，他對(duì)解這類題的具體方法掌握不夠，并且他對(duì)為什么要聯(lián)立，為什么要用判別式等本質(zhì)問(wèn)題的理解不到位.這種錯(cuò)誤對(duì)于此題較為典型，本質(zhì)上反映了一些學(xué)生的學(xué)習(xí)立足于記題型、照著做，忽略了對(duì)圓錐曲線本質(zhì)問(wèn)題的分析，尤其是解圓錐曲線題常用的數(shù)形結(jié)合等思想方法的學(xué)習(xí).可能有人會(huì)認(rèn)為（3）的錯(cuò)誤并不嚴(yán)重，然而書寫凌亂直接反映的是學(xué)生思路的凌亂，反之，規(guī)范的書寫卻有利于學(xué)生思維的展開，因而筆者認(rèn)為（3）的錯(cuò)誤應(yīng)該值得我們關(guān)注，日常教學(xué)中對(duì)它的糾正應(yīng)該成為學(xué)困生轉(zhuǎn)化的一種有效途徑.

3.正確解法

解 聯(lián)立x2+y2-2ax+a2-1=0，y2=12x.

得x2+12-2ax+a2-1=0x≥0①

由題意知：①式有且僅有一個(gè)正數(shù)解.

即：方程x2+1[]2-2ax+a2-1=0②有兩個(gè)相等的正數(shù)解或者有一個(gè)負(fù)數(shù)解和一個(gè)正數(shù)解.

1.當(dāng)②式有兩個(gè)相等的正數(shù)解，

12-2a2-4a2-1=0，2a-12>0，a2-1>0.解得a=178.

2.當(dāng)②式有一個(gè)負(fù)數(shù)解和一個(gè)正數(shù)解，

12-2a2-4a2-1>0，a2-1<0.解得-1

綜上所述，a∈（-1，1）∪17[]8.

4.解題教學(xué)分析

比較正確解法與學(xué)生的錯(cuò)解，我們從中可以發(fā)掘出此題有效的解題教學(xué)過(guò)程.

首先，要讓學(xué)生對(duì)本題有一個(gè)整體把握.比如，本題給出了圓和拋物線的方程，并已知兩曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求圓中一個(gè)參數(shù)的范圍.

其次，找準(zhǔn)此題解決的關(guān)鍵點(diǎn)予以強(qiáng)調(diào).比如，題目中給出了兩曲線方程，并且已知兩曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以解題時(shí)可先由曲線方程畫出已知拋物線的圖像，再根據(jù)圓的圓心為（a，0），半徑固定為1，試著畫圓的圖像，抓住“有兩個(gè)公共點(diǎn)”這個(gè)條件去嘗試定性的分析參數(shù)a的情況.這樣分析，很容易看出a∈（-1，1）符合題意，并且a還有一個(gè)大于1的解.現(xiàn)在要求a的這個(gè)大于1的解，很容易想到要聯(lián)立兩個(gè)方程，把圖像交點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解的問(wèn)題，也就是把圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化成了方程組有兩個(gè)解，從而定量的去求參數(shù)a.并且結(jié)合圖像我們知道，方程組的兩個(gè)解的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).接下來(lái)把方程組的解轉(zhuǎn)化為方程①的解，一定要注意未知量x的范圍是x≥0，并且方程①的解x只有1個(gè)而且是不等于0的，即現(xiàn)在的條件已經(jīng)變成了方程①有且僅有1個(gè)正數(shù)解.

再有，明確此題的障礙點(diǎn)（易錯(cuò)點(diǎn)）給予突破，比如，接下來(lái)我們一定會(huì)想到運(yùn)用與“一元二次方程的根的個(gè)數(shù)和它的判別式之間的關(guān)系”相關(guān)的知識(shí)解題，但是學(xué)生往往會(huì)忽略這里的判別式的運(yùn)用是要在方程的解沒(méi)有限制范圍時(shí)才準(zhǔn)確的，這點(diǎn)用一元二次方程的求根公式x=-b±b2-4ac[]2a可以很容易說(shuō)明.而這里的方程①中多出了x≥0的條件，所以接下來(lái)的一步轉(zhuǎn)化至關(guān)重要，我們需要把條件方程①有且僅有1個(gè)正數(shù)解轉(zhuǎn)化為方程②有兩個(gè)相等的正數(shù)解或者有一個(gè)負(fù)數(shù)解和一個(gè)正數(shù)解，然后分兩種情況討論，用判別式相關(guān)的知識(shí)去列式組求解參數(shù)a，最后把兩種情況得到的解集并起來(lái).

最后，關(guān)注此題解題過(guò)程的規(guī)范書寫.使學(xué)生能夠以規(guī)范的書寫反映思維的過(guò)程、強(qiáng)化思維的嚴(yán)謹(jǐn).

這道題目看似簡(jiǎn)單，但實(shí)際上要做好這道題，要求學(xué)生必須熟練掌握高中階段最重要的四種數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想、分類討論的思想.并且，這道題目在考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想的同時(shí)，也考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，體現(xiàn)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等目標(biāo)的要求.而對(duì)學(xué)生錯(cuò)解的辨析，有利于教師把握學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的難點(diǎn)、障礙點(diǎn)，進(jìn)而推進(jìn)教學(xué)的針對(duì)性.