數(shù)學(xué)逆向思維的心里特征與教學(xué)應(yīng)用

羅志泉

【摘要】逆向思維在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中占有很重要的地位，逆向思維有何特點(diǎn)，在教學(xué)中又怎樣結(jié)合教材對學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練呢？本文就這個方面的問題說出了自己的做法.

【關(guān)鍵詞】逆向思維；雙向性思維訓(xùn)練

在現(xiàn)實(shí)生活中，歷史上“司馬光砸缸”的故事可說是婦孺皆知，三十六計(jì)中的“聲東擊西”、“空城計(jì)”、“欲擒故縱”等也是家喻戶曉.這些典故從思維的角度來分析，都是逆向思維形式的典型代表，它們之所以被人民千古傳頌，是由于逆向思維往往起到突破性的、令人意想不到的效果.那什么是逆向思維呢？所謂逆向思維是指從問題的反面入手，對問題的條件、結(jié)論、背景等進(jìn)行觀察、思考、分析與探索的一種思維活動.與常規(guī)思維不同，逆向思維是反過來思考問題，是突破常規(guī)思維方式去思考問題.

一、逆向思維的心里特征

蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯捷茨的研究表明：心理過程的可逆性是指從正向思維序列轉(zhuǎn)到逆向思維序列這一意義上的思維序列方向的重建，它包括了兩個不同而又是相互關(guān)聯(lián)的過程.首先，它與只是單向起作用的單向A→B型聯(lián)想（聯(lián)結(jié)）相反，是雙向的AB型的聯(lián)想的建立.其次，它是推理中心理過程的可逆性，是一種從答案或結(jié)論到原始數(shù)據(jù)的逆向思維.

二、逆向思維的教學(xué)運(yùn)用

數(shù)學(xué)上的“逆運(yùn)算”、“逆映射”、“反函數(shù)”、“逆定理”、“反證法”，“反例”等等，都是逆向思維的形式.根據(jù)數(shù)學(xué)思維的心里特征，我們在教學(xué)中可從三個方面對學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練：反例的應(yīng)用、公式定理的逆用、問題的轉(zhuǎn)換.學(xué)生逆向思維的能力提高了，對基本概念會有更深的理解，思維的靈活性會更強(qiáng)，分析問題和解決問題的手段也會更多.

1.重視反例的作用，加深對概念定理的理解

在概念或定理的教學(xué)中，學(xué)生往往對新的概念或定理不能透徹地理解，看不清或根本就不看概念或定理的一些附加條件，造成理解和運(yùn)用的錯誤.教學(xué)時我們就要重視反例的作用了，適當(dāng)利用反例幫助學(xué)生深入地理解相關(guān)概念.

反例的作用是“短平快”，具有很強(qiáng)的說服力，在數(shù)學(xué)研究和解決較難問題時更是經(jīng)常使用.數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾給出猜想：“n為非負(fù)整數(shù)時，一切形如22n+1的數(shù)是素?cái)?shù).”這個猜想讓很多人費(fèi)盡心思，后來歐拉給出了反例，推翻了費(fèi)馬猜想：

225+1=232+1=4294967297=641×670041.

不用說一句話，一個簡單的式子就解決了問題.在高考中，也不乏利用反例來解決問題的例子，它給考生節(jié)省不少保貴的時間.

例1 （2002年上海高考理工科）

規(guī)定Cmx=x（x-1）…（x-m+1）m！，其中x∈R，m是正整數(shù)，且C0x=1，這是組合數(shù)Cmn（n.m全是整數(shù)，且m≤n）的一種推廣.組合性質(zhì)：Cmn=Cn-mn是否能推廣到Cmx（x是實(shí)數(shù)，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并證明：若不能，說明理由.

分析 x∈R，m，x-m∈Z，但x∈R、m∈Z時，x-m一定是整數(shù)嗎？顯然不能！如：x=53，m=1，C53-153=C2353 無意義.

所以，Cmn=Cn-mn不能作滿足條件的推廣.

從上面幾例可以看出，教學(xué)中適當(dāng)使用反例的必要性，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用反例解決問題的能力的重要性.

2.注重公式的逆用和逆命題的探討，認(rèn)清命題的本質(zhì)

（1）數(shù)學(xué)公式的逆用，更能讓學(xué)生充分地理解和記憶公式，認(rèn)清公式的本質(zhì).如三角函數(shù)部分，要記的公式比較多，多加強(qiáng)逆用或變用公式的訓(xùn)練，對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性會大有益處.教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生常對sin2α+cos2α=1記得很熟，但對“1”用sin2α+cos2α進(jìn)行代換就不會運(yùn)用，類似的還有形如：

1+tan15°1-tan15°=tan60°，sin47°cos73°+sin43°cos17°=sin120° 等等的問題.逆用公式多了，學(xué)生自然會對公式有更深的理解.

例2 已知，tanαtanα-1=-1，求sin2α+sinαcosα+2的值.

分析 由已知可得tanα=12，

sin2α+sinαcosα+2=sin2α+sinαcosαsin2α+cos2α+2=tan2α+tanαtan2α+1+2=135.

（2）適當(dāng)訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)命題的逆命題進(jìn)行探討，對培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，提高解題水平有很大幫助.

例3 證明向量OA，OB，OC的終點(diǎn)A，B，C共線，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，且λ+μ=1，使得OC=λOA+μOB.

分析 由于A，B，C共線，AB∥AC，AC=tAB.

OC-OA=t（OB-OA），OC=（1-t）OA+tOB.

設(shè)1-t=λ，t=μ，得OC=λOA+μOB.

完成這題的證明學(xué)生不是很難，但完成后教師如果引導(dǎo)學(xué)生對它的逆命題時行討論，發(fā)現(xiàn)逆命題也是成立的，這樣學(xué)生就會對這個問題有更高的認(rèn)識了，而且映像很深，對以這個命題為背景的問題的解法也就會運(yùn)用自如.如解下列題：“三角形ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若AD=2DB，CD=13CA+λCB，則λ=.”學(xué)生會很快得出λ=23.

3.從結(jié)論出發(fā)，轉(zhuǎn)換問題，提高解題能力

逆向思考轉(zhuǎn)換問題包含了數(shù)學(xué)解題的分析法，反證法，轉(zhuǎn)換命題等方法.如果運(yùn)用得當(dāng)，會讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正快樂.

三、結(jié)束語

逆向思維能力不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，有助于形成良好的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開拓精神，培養(yǎng)良好的思維品性，提高學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)興趣，及提高思維能力和整體素質(zhì).在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須充分認(rèn)識逆向思維的重要作用，并結(jié)合教材自身的內(nèi)容，注重對學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，不斷完善學(xué)生的綜合知識，以便能夠更好地完成既定的教學(xué)目標(biāo)，最終達(dá)到激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造精神、提升學(xué)生的分析能力的目的.