對高中數學解題思路的探索

鄧秋芬

【摘要】本文通過具體實例分析，體驗數學綜合題解法的探索、發現的一般途徑，進而領悟并熟練地掌握整個思維結構與各個具體的思維方法，從而改善并優化自身的思維結構，達到極大提高自身數學發現能力的目的.

【關鍵詞】探索；變換；簡化

很多學生解決單一數學問題比較拿手，遇到數學綜合問題往往就不知所措，如果能掌握正確的探索方法就可順利突破.本文著重從問題分細、問題變更、試探和猜想三個方面并結合實例進行分析展現如何探索數學綜合題的解題思路.

一、問題的細化——分解和迭加

在多年的數學教學中，我們發現其實學生對于單一知識點的問題一般很容易解決，主要難在如何解決綜合性問題上.而綜合性問題大多由分屬不同數學模塊或同一模塊中不同部分的知識通過科學加工而有機地拼湊堆砌而成的，所以若能將綜合性問題細化，拆分成只涉及單一知識點的幾個小問題，便于聯想應用相關概念、公式等的話，再難的問題都可以得到解決了.

那么如何將問題分解呢？按知識的縱橫組合劃分為縱向分解和橫向分解.縱向分解是把一個較難的復雜問題分解成幾個前后互相關聯的系列題，通常前一個小問題的結果是后一個小問題的條件，它的解決會影響到后面問題的解決，所以縱向分解的關鍵是正確尋找到將問題解決的中途點.

例如 對于所有大于正數a的 x，不等式a+1a

分析 本題未給出確定的終極目標，是探索性的結論，必須進行探索，聯想涉及的函數模型：f（x）=x+1x（x>0），條件變為：當x>a>0時有f（x）>f（a），從而本題轉化為當f（x）=x+1x（x>0）是增函數時，求a的最小值.所以可以將本題分解為3個小問題來解決：1.求出函數f（x）=x+1x（x>0）的單調增區間；2.當a滿足什么條件時，有f（x）>f（a）？3.求a的最小值.

橫向分解與分歧點：在數學問題的解決中，由于對問題看法的不同而產生某些概念、性質、定理的分類分歧，或產生對位置關系的分類研究，即常說的分類討論法，所以橫向分解的關鍵是如何做到不遺不漏.

二、問題的變更——變換與映射

一個數學問題，在不同的數學分支內往往具有種種不同的表達形式，相應地也就有種種不同的處理方法，加之每個人掌握與運用數學方法處理問題的熟練程度也不盡相同，所以我們要學習將一個問題轉換變更成我們自己所熟悉的等價形式，或映射到另一個領域去，無疑增大了解決問題的可能性.

1.問題的等價變換：可通過6種方式實現：等價件的替代，變量代換，不同的構圖，不同的表述，恒等變換，逆否命題的等價關系.

例如 2010年高考江蘇卷：定義在區間0，π2上的函數y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P，過點P作PP1⊥x軸于點P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點P2 ，則線段P1P2的長為.

分析 設點P1的橫坐標為x0，則線段P1P2的長即為sinx0的值，“函數y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點為P”即6cosx0=5tanx0，問題就等價轉換為已知6cosx0=5tanx0，求sinx0.

2011年高考上海卷：在正三角形ABC中，D是邊BC上的點，若AB=3，BD=1，則AB·AD=.

分析 把AD用已知的AB和BC等價代換表示為AD=AB+13BC，再計算AB·AD的值就很容易了.

2.問題的映射：將在原來的數學領域中直接解決較為困難的問題設法映射到其他領域中去解決，最后將其結果反演回去.

例如 2014年永安市質檢卷：若函數f（x）滿足f（1）=1，且f（x+1）=2f（x），則f（1）+f（2）+…+f（10）=1023.

分析 將函數f（x）映射到數列{an}，則{an}為等比數列，問題轉化為求{an}的前10項和.

3.問題的不等價變換：對于不存在等價變換的問題可以采用“消弱條件，再檢驗”的方法進行解決.

例如 已知函數f（x）=ax2+（2a-1）x-3，在-32，2上的最大值為1，求實數a的值.

分析 本題開口可向上、向下，且對稱軸與區間的相對位置有三種情況，討論很麻煩！其實不妨消弱條件，可得最大值只可能在x=-32或x=2或x=1-2a2a處取得，假設f（2）=1或f-32=1或f1-2a2a=1，從中分別求出a值后再檢驗即可.

三、合理試探與猜想

1.簡化的引路作用：對于某個復雜的問題先從其某個簡單的方面進行探討，促發解題的靈感，從而找到解決這類問題的方法.

2.特殊的試探作用：從問題的極端情況入手去試探分析.

3.類比的引導作用.

4.大膽猜想——科學發現的基本形式之一.驚世駭俗的猜想常導致某個科學理論的重大突破，所以我們要敢于大膽地進行合理猜想.

總之，我們如果在數學解題遇阻時能夠靈活運用上面三種途徑進行分析那么很多疑難問題都可順利解決，不妨一試.

三角函數易錯題剖析三角函數易錯題剖析

◎周山林 （四川綿陽普明中學 四川綿陽 621000）

一、 三角函數是高考必考內容之一，同學們在解三角函數題時，雖然三角公式已經掌握，基本解題方法已經熟悉，但是還會時常出錯，下面就常見易錯題進行剖析.

例1 已知A，B，C為△ABC的內角，且cosA=35，sinB=513，求cosC的值.

錯解 由cosA=35>0 得0

正解 由cosA=35>12得π3

由得由sinB=513<12，B∈（0，π）得0

由①②知0

錯因：忽視隱含條件三角形內角和定理，B不能為鈍角.事實上，由 sinB=513

例2 已知α，β ∈（0，π2）且cosα=55，cosβ=-1010，求α+β的值.

錯解 由已知得sinα=252，sinβ=31010，

又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=22，α+β∈（0，π），

∴α+β=π4或α+β=3π4.

正解 由α，β ∈0，π2，sinα=252，sinβ=31010，

得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-22，α+β∈（0，π），∴α+β=3π4.

錯因 增解產生原因是對三角函數性質不熟悉：在區間（0，π）上正弦函數不單調，而余弦函數單調遞減，是單值對應，所以選擇余弦函數不會產生增根.

二、同學們在做三角函數圖像變換題目時，由于概念模糊，對一些問題沒有深入分析，加上粗心大意，時常會出錯.

例3 要得到y=cos2x-π4 的圖像，只需將y=sin2x的圖像（ ）.

A.向左平移π4個單位

B.向右平移π4個單位

C.向左平移π8個單位

D. 向右平移π8個單位

錯解 把y=sin2x向右平移π4個單位得y=sin2x-π4，故選B.

正解 ∵y=cos2x-π4=sinπ2+2x-π4=sin2（x+π8），∴選（C）

錯因 不會使用公式cosα=sinπ2+α以改變函數名稱.

例4 要得到y=sin-12x的圖像，只需將y=sin-12x-π6的圖像 （ ）.

A.向左平移π3個單位 B.向右平移π3個單位

C. 向左平移π6個單位

D. 向右平移π6個單位

錯解 ∵sin-12x-π6+π6=sin-12x，∴選C.

正解 ∵sin-12x-π6+π6=sin-12x-π3+π3= sin-12x，∴選B.

錯因 平移口訣：“左加右減”是對x而言，不是對-12x 而言，因此一定要把x的系數提到括號外面去.其次，此題是已知y=sin-12x-π6的圖像求作y=sin（-12x）的圖像，這是一個逆向問題.