極限思想在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

馬天祥

【摘要】本文從教材內(nèi)容、習(xí)題解答兩方面論述了極限思想在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，從而得到加強(qiáng)極限思想在學(xué)習(xí)實(shí)踐中的應(yīng)用具有重要的意義.

【關(guān)鍵詞】極限思想；教材內(nèi)容；習(xí)題解答；應(yīng)用

極限是微積分學(xué)的奠基概念之一，微積分中很多概念如導(dǎo)數(shù)、定積分等都是由極限來定義的，另外通過極限概念的學(xué)習(xí)還要掌握、應(yīng)用極限思想.用極限的思想方法分析問題、解決問題時(shí)，先構(gòu)造一個(gè)與未知量有關(guān)的變量，確認(rèn)這個(gè)變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量，最后用極限計(jì)算求出未知量.人教版教材中沒有給出極限的嚴(yán)格定義，但無論是教材內(nèi)容還是習(xí)題解答都大量地應(yīng)用著極限思想.

一、在教材中的應(yīng)用

人教版教材內(nèi)容沒有按邏輯關(guān)系先學(xué)習(xí)極限，而是跳過了難理解的極限概念，直接用極限思想給出了導(dǎo)數(shù)、定積分的定義.至于導(dǎo)數(shù)，教材是通過討論氣球膨脹、切線斜率等歸納引入定義的.在定義中把符號(hào)“l(fā)im”作為瞬間變化率的記法來處理的，并稱它為極限.雖然沒用極限來定義導(dǎo)數(shù)，但整個(gè)導(dǎo)數(shù)定義都蘊(yùn)含著極限思想.以求切線斜率為例：為了求函數(shù)y=f（x）圖像上在點(diǎn)（x0，f（x0））處切線斜率這一未知量，先找到割線斜率Δy[]Δx，當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，割線斜率Δy[]Δx就趨近于切線斜率.用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為：limΔx→0Δy[]Δx=limΔx→0

個(gè)小區(qū)間上任取的一點(diǎn).

二、習(xí)題解答中的應(yīng)用

解答中學(xué)數(shù)學(xué)一些難度較大的習(xí)題時(shí)也可以借助極限思想，達(dá)到事半功倍的效果.下面就函數(shù)、解析幾何、不等式證明、數(shù)列、立體幾何五方面來說明極限思想在解題中的應(yīng)用.

1.在函數(shù)中的應(yīng)用

在處理有關(guān)函數(shù)問題時(shí)，應(yīng)用極限思想，通過考查取值范圍內(nèi)的極端值，可以簡(jiǎn)化題目，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到正確答案.

例1 已知0

A.loga（xy）<0 B.0

C.12

分析 當(dāng)

x→a時(shí)，則y→a，此時(shí)xy→a2，從而

loga（xy）→2，所以排除A和B.當(dāng)y→0時(shí)，則x→0，此時(shí)

xy→0，又因?yàn)?

2.在解析幾何中的應(yīng)用

在解析幾何中，應(yīng)用極限思想對(duì)條件的某種極限狀況進(jìn)行分析，再將問題從極限狀況轉(zhuǎn)化到一般情況，使復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單了.

例2 橢圓x2[]169+y2[]25=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

分析 當(dāng)P無限趨近于長軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2→0，當(dāng)P點(diǎn)從長軸端點(diǎn)向短軸端點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，∠F1PF2越來越大.已知∠F1PF2可以為鈍角，故一定有一個(gè)P0點(diǎn)，∠F1P0F2=π[]2，P越過P0點(diǎn)后，∠F1PF2為鈍角，問題就轉(zhuǎn)化為求P0點(diǎn)的橫坐標(biāo).設(shè)P0（x0，y0），因?yàn)椤螰1P0F2=π[]2，得

|P0F21|+|P0F22|=|F1F2|，即169+144[]169x20=2×144，解得x0=±13[]12199，故填-13[]12199

3.在不等式證明中的應(yīng)用

在有些不等式證明中，若用極限思想，問題會(huì)迎刃而解.

例3 在區(qū)間（0，1）上任取x，y，z，求證1[]1-x6+1[]1-y6+1[]1-z6≥3[]1-x2y2z2.

分析 用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，即利用極限思想把不等式左邊化為

1+x6+x12+x18+…+1+y6+y12+y18+…+1+z6+z12+z18+…=3+（x6+y6+z6）+（x12+y12+z12）+（x18+y18+z18）+…≥3+3x2y2z2+3x4y4z4+3x6y6z6+…=3（1+x2y2z2+x4y4z4+x6y6z6+…）=3[]1-x2y2z2.得證.

4.在數(shù)列中的應(yīng)用

在解答數(shù)列題時(shí)，利用極限思想，考查項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)數(shù)列的特點(diǎn)，可以從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)列，從而簡(jiǎn)化數(shù)列問題.

例4 已知數(shù)列{xn}中，a1=2，對(duì)于任意正整數(shù)n，總有an+1=an[]an-3，是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得an=a-b-1[]2n對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立？若存在，給出證明；若不存在，說明理由.

分析 若這樣的a，b存在，應(yīng)用極限思想：由an=a-b-1[]2n，當(dāng)n→+∞時(shí)，an→a；再由an+1=an[]an-3，當(dāng)n→+∞時(shí)，得a=a[]a-3，解得a=0或a=4.

若a=0，則數(shù)列{xn}是以2為首項(xiàng)，以-1[]2為公比的等比數(shù)列，從而a1=2，a2=-1，這與an+1=an[]an-3相矛盾，應(yīng)舍去.

若a=4，將a1=2代入an=4-b-1[]2n，得到b=-4，所以an=4+4-1[]2n，得a2=5，這與an+1=an[]an-3相矛盾，應(yīng)舍去.綜上所述，這樣的實(shí)數(shù)a、b不存在.

5.在立體幾何中的應(yīng)用

在立體幾何中，應(yīng)用極限思想對(duì)位置極限狀況進(jìn)行分析，往往能得到問題的結(jié)論，使復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單了.

例5 正三棱錐相鄰兩側(cè)面所成的角為α，則α的取值范圍為.

A.0，π[]2

B.0，π[]3

C.π[]3，π[]2

D.π[]3，π

分析 設(shè)正三棱錐P-ABC，PO是過底面正三角形ABC中心且垂直于底面的垂線段.當(dāng)PO→0時(shí)，相鄰兩側(cè)面夾角趨近于π；當(dāng)PO→+∞時(shí)，正三棱錐無限趨近于正三棱柱，相鄰兩側(cè)面夾角趨近于π[]3，故選D.

在初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，要以教材內(nèi)容為載體，理解、掌握極限思想，提高思維層次和數(shù)學(xué)素養(yǎng).同時(shí)在解各類數(shù)學(xué)題時(shí)，有意識(shí)地應(yīng)用極限思想解答，逐步提高利用極限思想分析問題、解決問題的能力，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做好思維準(zhǔn)備.

【參考文獻(xiàn)】

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